Mục lục bài họcĐang ở d02-b4
Tangent Lines and Linear Approximation
The tangent line is the answer to most questions
At $x=a$ the tangent line is
$$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$Used as an approximation, $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$ for $x$ near $a$. This is the local linearisation $L(x)$.
Whether the estimate is too big or too small is decided by concavity, not by which side you are on: if $f''>0$ (concave up) the curve sits above its tangent, so $L(x)$ underestimates; if $f''<0$ (concave down), $L(x)$ overestimates. AP asks for this justification explicitly and awards a separate point for naming concavity.
Phương trình tiếp tuyến $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ trả lời phần lớn câu hỏi của chương, kể cả câu “ước lượng $f(2{,}1)$”.
Ước lượng thừa hay thiếu là do độ lồi lõm, không phải do bên trái hay bên phải. Lồi lên ($f''>0$) thì đồ thị nằm trên tiếp tuyến ⇒ xấp xỉ tuyến tính cho ra số nhỏ hơn thực tế. Lõm xuống ($f''<0$) thì ngược lại.
Đề AP tách riêng một điểm cho việc nói ra chữ “concave up/down” và lý do — trả lời “ước lượng thiếu” mà không nêu độ lồi thì mất điểm đó.
Cho $f(x)=\ln x$. Dùng xấp xỉ tuyến tính tại $a=1$ để ước lượng $\ln(1{,}2)$, rồi cho biết ước lượng đó thừa hay thiếu. Giải thích.
$f(1)=0$, $f'(x)=\frac1x$ nên $f'(1)=1$. Vậy $L(x)=0+1(x-1)=x-1$ và $\ln(1{,}2)\approx 0{,}2$.
$f''(x)=-\frac{1}{x^2}<0$ với mọi $x>0$ ⇒ đồ thị lõm xuống ⇒ nằm dưới tiếp tuyến ⇒ ước lượng thừa (overestimate).
Đối chiếu: $\ln 1{,}2\approx 0{,}1823 < 0{,}2$ — đúng là thừa.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 2 — Differentiation: Definition and Fundamental Properties gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.