Mục lục bài họcĐang ở d05-b2
Concavity and the Second Derivative
What f ″ tells you
$f''>0$ $\Rightarrow$ graph is concave up (holds water); $f''<0$ $\Rightarrow$ concave down. A point of inflection is where concavity changes — so $f''$ must change sign there, not merely equal zero.
Second Derivative Test. At a critical point $c$ with $f'(c)=0$: $f''(c)>0$ gives a local minimum, $f''(c)<0$ a local maximum, and $f''(c)=0$ gives no information — fall back on the first derivative test.
A useful translation table for word problems: $f''>0$ with $f'>0$ means "increasing at an increasing rate"; $f''<0$ with $f'>0$ means "increasing but levelling off".
$f''>0$ ⇒ đồ thị lồi lên (hứng nước được); $f''<0$ ⇒ lõm xuống. Điểm uốn là nơi độ lồi đổi, nên $f''$ phải đổi dấu chứ không chỉ bằng $0$.
Dấu hiệu đạo hàm cấp hai tại điểm tới hạn: $f''>0$ ⇒ cực tiểu, $f''<0$ ⇒ cực đại, $f''=0$ ⇒ không kết luận được gì, phải quay về xét dấu $f'$.
Bảng dịch sang lời văn — thứ đề AP hỏi rất nhiều: $f'>0$ và $f''>0$ là “tăng, và tăng ngày càng nhanh”; $f'>0$ và $f''<0$ là “vẫn tăng nhưng chậm dần lại”.
Hàm $f(x)=x^4$ có $f''(0)=0$. Hỏi $x=0$ có phải điểm uốn không?
$f''(x)=12x^2$. Đúng là $f''(0)=0$.
Nhưng $12x^2\ge0$ với mọi $x$ — $f''$ không đổi dấu khi đi qua $0$. Đồ thị lồi lên ở cả hai bên.
Vậy $x=0$ không phải điểm uốn. Nó là điểm cực tiểu.
So sánh với $f(x)=x^3$: ở đó $f''(x)=6x$ đổi dấu tại $0$, nên $x=0$ là điểm uốn. Cùng một dữ kiện “$f''(0)=0$” nhưng hai kết luận trái ngược — đó là lý do phải xét dấu.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 5 — Analytical Applications of Differentiation gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.