Mục lục bài họcĐang ở d07-b2
Separation of Variables
The standard five moves
- Separate: get all $y$ with $dy$ and all $x$ with $dx$.
- Integrate both sides. Put $+C$ on one side only.
- Apply the initial condition immediately, while the equation is still in its simplest form.
- Solve for $y$ explicitly if asked.
- State the domain if the problem is in context.
Step 3 is a time-saver and an accuracy-saver: substituting the initial condition before untangling logarithms and exponentials avoids the messiest algebra of the whole unit.
Exponential growth $\frac{dy}{dt}=ky$ has solution $y=y_0e^{kt}$; this one is worth knowing on sight rather than re-deriving.
Năm bước, đúng thứ tự:
- Tách: mọi thứ chứa $y$ đi với $dy$, mọi thứ chứa $x$ đi với $dx$.
- Tích phân hai vế. Chỉ đặt $+C$ ở một vế.
- Thay điều kiện đầu ngay, khi phương trình còn ở dạng đơn giản nhất.
- Giải ra $y$ tường minh nếu đề yêu cầu.
- Nêu miền xác định nếu bài có ngữ cảnh.
Bước 3 là mẹo tiết kiệm lớn nhất chương này. Thay điều kiện đầu trước khi gỡ $\ln$ và $e$ giúp tránh toàn bộ phần đại số rối nhất — nhiều thí sinh làm ngược lại rồi sai dấu hoặc lạc hằng số.
Tăng trưởng mũ $\frac{dy}{dt}=ky$ có nghiệm $y=y_0e^{kt}$ — nên nhớ thẳng, không cần dựng lại mỗi lần.
Giải $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x}{y}$ với $y(0)=3$, $y>0$.
Tách: $y\,dy=2x\,dx$.
Tích phân: $\dfrac{y^2}{2}=x^2+C$.
Thay điều kiện đầu ngay: $\dfrac{9}{2}=0+C$ ⇒ $C=\dfrac92$.
Vậy $\dfrac{y^2}{2}=x^2+\dfrac92$, tức $y^2=2x^2+9$.
Giải ra $y$: $y=\sqrt{2x^2+9}$ — lấy dấu dương vì đề cho $y>0$ và $y(0)=3>0$.
Chọn dấu là một điểm riêng trong rubric: phải nói ra vì sao lấy dấu dương.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 7 — Differential Equations gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.