Mục lục bài họcĐang ở d01-b1
Defining Limits and Using Limit Notation
What a limit actually claims
The statement $\lim_{x\to c} f(x) = L$ says: we can force $f(x)$ to be as close to $L$ as we like, provided $x$ is close enough to $c$ but not equal to $c$. The value $f(c)$ is deliberately excluded from the conversation — the limit describes the approach, never the destination.
This is why a limit can exist where the function is undefined, and why a function can be defined at $c$ with a completely unrelated limit there.
The two-sided limit exists exactly when both one-sided limits exist and agree:
$$\lim_{x\to c}f(x)=L \iff \lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^+}f(x)=L$$Câu $\lim_{x\to c} f(x) = L$ nói đúng một điều: ép $x$ lại gần $c$ thì $f(x)$ lại gần $L$ bao nhiêu tuỳ ý — nhưng $x$ không bao giờ được bằng $c$. Giá trị $f(c)$ bị cố ý gạt ra khỏi câu chuyện.
Hệ quả trực tiếp, và cũng là chỗ đề AP hay đánh: giới hạn tồn tại được ngay cả khi hàm không xác định tại đó; ngược lại hàm có thể xác định tại $c$ mà giới hạn ở đó lại là một số khác hẳn.
Giới hạn hai phía tồn tại khi và chỉ khi hai giới hạn một phía cùng tồn tại và bằng nhau. Đây là dụng cụ chính để xử lý hàm ghép khúc.
Cho đồ thị ở trên. Xác định $\lim_{x\to 3^-}f(x)$, $\lim_{x\to 3^+}f(x)$, $\lim_{x\to 3}f(x)$ và $f(3)$.
Nhánh trái tiến lên độ cao $5$ khi $x\to 3^-$, nên $\lim_{x\to 3^-}f(x)=5$. Nhánh phải cũng xuất phát từ độ cao $5$, nên $\lim_{x\to 3^+}f(x)=5$. Hai phía bằng nhau ⇒ $\lim_{x\to 3}f(x)=5$.
Còn $f(3)$ đọc ở chấm đặc: $f(3)=2$. Vì $\lim_{x\to3}f(x)=5\neq 2=f(3)$, hàm không liên tục tại $x=3$ — cụ thể là gián đoạn khử được (removable discontinuity), vì chỉ cần định nghĩa lại $f(3)=5$ là vá xong.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 1 — Limits and Continuity gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.