Mục lục bài họcĐang ở d01-b2
Algebraic Techniques: Indeterminate Forms
The 0/0 workflow
Direct substitution is always the first move. If it returns a number, that number is the limit (for functions built from polynomials, roots, trig, exponentials and logs on their domains). If it returns $\frac{0}{0}$, substitution has told you something useful: numerator and denominator share a factor of $(x-c)$, and your job is to cancel it.
Four cancellation tools cover nearly every AP problem:
- Factor — for polynomials: $\frac{x^2-9}{x-3}=x+3$ for $x\neq3$.
- Conjugate — when a square root appears: multiply top and bottom by the conjugate, e.g. $\sqrt{x+2}-3$ pairs with $\sqrt{x+2}+3$.
- Common denominator — for stacked fractions such as $\frac{\frac1x-\frac13}{x-3}$.
- Known special limits — $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ and $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0$.
A result of $\frac{k}{0}$ with $k\neq0$ is not indeterminate: it signals a vertical asymptote, and the answer is $+\infty$, $-\infty$, or "does not exist" depending on sign analysis from each side.
Bước một luôn là thế thẳng. Ra một con số thì con số đó chính là giới hạn. Ra $\frac{0}{0}$ thì đừng coi là bế tắc — nó vừa mách cho bạn biết tử và mẫu cùng chứa nhân tử $(x-c)$, việc còn lại là rút gọn nhân tử đó.
Bốn công cụ rút gọn phủ gần hết đề AP: phân tích thành nhân tử, nhân liên hợp (khi có căn), quy đồng (khi có phân số chồng phân số), và hai giới hạn lượng giác đặc biệt.
Phân biệt cho kỹ: $\frac{k}{0}$ với $k\neq 0$ không phải dạng vô định. Nó báo có tiệm cận đứng, và đáp án là $+\infty$, $-\infty$ hoặc “không tồn tại” tuỳ dấu của từng phía.
Tính $\displaystyle\lim_{x\to 7}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}$.
Thế thẳng: $\frac{\sqrt9-3}{0}=\frac{0}{0}$ ⇒ có nhân tử chung. Có căn ⇒ nhân liên hợp:
$$\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}\cdot\frac{\sqrt{x+2}+3}{\sqrt{x+2}+3}=\frac{(x+2)-9}{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)}=\frac{x-7}{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)}$$Rút $(x-7)$ rồi thế $x=7$: $\dfrac{1}{\sqrt9+3}=\dfrac{1}{6}$.
Tính $\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{4}}{x-4}$.
Quy đồng tử: $\frac1x-\frac14=\frac{4-x}{4x}$. Vậy biểu thức bằng $\dfrac{4-x}{4x(x-4)}=\dfrac{-(x-4)}{4x(x-4)}=\dfrac{-1}{4x}$.
Thế $x=4$: $-\dfrac{1}{16}$.
Đáng chú ý: đây chính là $f'(4)$ của $f(x)=\frac1x$ — Unit 2 sẽ gọi biểu thức này là định nghĩa đạo hàm.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 1 — Limits and Continuity gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.