Mục lục bài họcĐang ở d06-b3
Antiderivatives and u-Substitution
The basic antiderivatives
$$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1),\qquad \int\frac1x dx=\ln|x|+C$$$$\int e^x dx=e^x+C,\quad \int\sin x\,dx=-\cos x+C,\quad \int\sec^2x\,dx=\tan x+C$$u-substitution
Choose $u$ to be the inside function whose derivative is present (up to a constant). Then $du=u'(x)\,dx$ and the integral becomes one in $u$ alone.
For a definite integral, change the limits too — that avoids converting back and is what AP rubrics expect:
$$\int_{x=a}^{x=b}f\big(u(x)\big)u'(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)}f(u)\,du$$Bảng nguyên hàm cơ bản phải thuộc. Chú ý $\int\frac1x dx=\ln|x|+C$ — dấu trị tuyệt đối là bắt buộc, thiếu nó là mất điểm.
Đổi biến: chọn $u$ là hàm bên trong mà đạo hàm của nó có mặt trong biểu thức (sai khác một hằng số cũng được). Rồi $du=u'\,dx$ và tích phân chỉ còn biến $u$.
Với tích phân xác định, đổi luôn cận. Đó là cách rubric AP mong đợi, và nó tránh hẳn bước thay ngược lại — nơi rất hay quên.
Tính $\displaystyle\int_0^2 x\,e^{x^2}\,dx$.
Đặt $u=x^2$ ⇒ $du=2x\,dx$ ⇒ $x\,dx=\frac12du$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow u=0$; $x=2\Rightarrow u=4$.
$$\int_0^2 xe^{x^2}dx=\frac12\int_0^4 e^u\,du=\frac12\left[e^u\right]_0^4=\frac{e^4-1}{2}$$Nếu giữ cận cũ mà quên thay $u$ ngược lại thành $x^2$ thì sẽ tính $\frac12(e^2-1)$ — sai, và đó là phương án nhiễu chuẩn.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 6 — Integration and Accumulation of Change gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.