Mục lục bài họcĐang ở d04-b2
Related Rates
A fixed five-step procedure
- Draw and label. Mark which quantities change with time and which are constant.
- Write an equation relating the variables — usually geometry (Pythagoras, area, volume, similar triangles).
- Differentiate both sides with respect to $t$. Every variable produces a rate: $\frac{dx}{dt}$, $\frac{dV}{dt}$…
- Only now substitute the instantaneous values.
- Solve for the requested rate and state units.
Step 4 is the discipline that separates full marks from half marks: substituting a changing quantity before differentiating turns it into a constant and destroys its rate term.
Quy trình năm bước, làm đúng thứ tự thì không sai được:
- Vẽ hình, ghi rõ cái nào đổi theo thời gian, cái nào là hằng số.
- Viết phương trình liên hệ các biến (Pythagoras, diện tích, thể tích, tam giác đồng dạng).
- Đạo hàm hai vế theo $t$. Mỗi biến đẻ ra một tốc độ.
- Đến đây mới thay số của thời điểm cần xét.
- Giải ra tốc độ được hỏi, và ghi đơn vị.
Bước 4 là chỗ phân biệt điểm tối đa với nửa điểm. Thay số của một đại lượng đang đổi vào trước khi đạo hàm là biến nó thành hằng số, và số hạng tốc độ của nó biến mất — bài sai từ gốc mà nhìn vẫn có vẻ hợp lý.
Nước chảy vào một bể hình nón (đỉnh chúc xuống) bán kính miệng $5$ m, cao $10$ m, với tốc độ $3$ m³/phút. Tính tốc độ dâng của mực nước khi nước sâu $4$ m.
$V=\frac13\pi r^2 h$ có hai biến đổi theo thời gian — phải khử bớt một. Tam giác đồng dạng cho $\frac{r}{h}=\frac{5}{10}$, tức $r=\frac h2$.
$$V=\frac13\pi\left(\frac h2\right)^2h=\frac{\pi h^3}{12}$$Đạo hàm theo $t$: $\frac{dV}{dt}=\frac{\pi h^2}{4}\cdot\frac{dh}{dt}$.
Đến đây mới thay số: $3=\frac{\pi(16)}{4}\frac{dh}{dt}\Rightarrow\frac{dh}{dt}=\frac{3}{4\pi}\approx 0{,}239$ m/phút.
Thay $h=4$ ngay từ đầu sẽ biến $V$ thành hằng số và cho $\frac{dV}{dt}=0$ — vô lý.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 4 — Contextual Applications of Differentiation gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.