Mục lục bài họcĐang ở d03-b3
Derivatives of Inverse Functions
The reciprocal-slope formula
$$\left(f^{-1}\right)'(b)=\frac{1}{f'\!\left(f^{-1}(b)\right)}=\frac{1}{f'(a)}\quad\text{where } f(a)=b$$Reading it as a procedure: to differentiate the inverse at input $b$, first find the $a$ that $f$ sends to $b$, then take the reciprocal of $f'(a)$. The hard part of AP questions on this is almost always step one — finding $a$ — not the formula.
Inverse trig derivatives
$$\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad \frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$$Combined with the chain rule: $\dfrac{d}{dx}\arctan\big(g(x)\big)=\dfrac{g'(x)}{1+\big[g(x)\big]^2}$.
Công thức đọc thành một quy trình ba bước: (1) tìm $a$ sao cho $f(a)=b$; (2) tính $f'(a)$; (3) lấy nghịch đảo. Bước khó là bước 1, không phải công thức — đề AP luôn giấu $a$ sau một phương trình phải đoán nghiệm.
Cần thuộc hai đạo hàm hàm ngược lượng giác: $\arcsin$ ra $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $\arctan$ ra $\frac{1}{1+x^2}$. Ghép với dây chuyền là ra dạng đề hay gặp.
Cho $f(x)=x^3+2x+1$ và $g=f^{-1}$. Tính $g'(4)$.
Bước 1 — tìm $a$ với $f(a)=4$. Thử $a=1$: $1+2+1=4$ ✓.
Bước 2 — tính $f'$. $f'(x)=3x^2+2$, nên $f'(1)=5$.
Bước 3 — lật. $g'(4)=\frac{1}{f'(1)}=\frac15$.
Chú ý $f'(x)=3x^2+2>0$ với mọi $x$, nên $f$ đơn điệu tăng và hàm ngược chắc chắn tồn tại — một câu nên viết ra trong phần tự luận.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 3 — Differentiation: Composite, Implicit, and Inverse Functions gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.