Mục lục bài họcĐang ở d08-b3
Volumes: Disks, Washers and Known Cross-Sections
Slice, then add
Every volume formula in AB comes from one idea: cut the solid into thin slabs, find the area of one slab, integrate.
Disk (region touches the axis of revolution):
$$V=\pi\int_a^b\left[R(x)\right]^2dx$$Washer (a gap between region and axis):
$$V=\pi\int_a^b\left(\left[R(x)\right]^2-\left[r(x)\right]^2\right)dx$$Known cross-sections perpendicular to the $x$-axis, with base width $w(x)=f(x)-g(x)$:
- square: $\int w^2dx$
- equilateral triangle: $\int\frac{\sqrt3}{4}w^2dx$
- semicircle: $\int\frac{\pi}{8}w^2dx$
If the axis of revolution is $y=k$ rather than the $x$-axis, the radius becomes $\left|f(x)-k\right|$.
Mọi công thức thể tích của AB đều từ một ý: cắt vật thể thành lát mỏng, tính diện tích một lát, rồi cộng dồn.
Đĩa khi vùng chạm trục quay; vành khuyên khi có khoảng hở giữa vùng và trục.
Thiết diện đã biết: bề rộng đáy $w(x)$ chính là “trên trừ dưới”, rồi nhân hệ số hình dạng — vuông là $w^2$, tam giác đều là $\frac{\sqrt3}{4}w^2$, nửa tròn là $\frac{\pi}{8}w^2$.
Trục quay là $y=k$ thay vì trục hoành thì bán kính thành $\left|f(x)-k\right|$ — trừ đi $k$, đừng giữ nguyên $f(x)$.
Vùng giới hạn bởi $y=\sqrt{x}$ và $y=\frac{x}{2}$ quay quanh trục hoành. Tính thể tích.
Giao điểm: $\sqrt x=\frac x2\Rightarrow x=\frac{x^2}{4}\Rightarrow x^2-4x=0$ ⇒ $x=0$ và $x=4$.
Trên $[0,4]$, thử $x=1$: $\sqrt1=1>\frac12$ ⇒ $\sqrt x$ nằm trên, nên $R=\sqrt x$ và $r=\frac x2$.
$$V=\pi\int_0^4\left(x-\frac{x^2}{4}\right)dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{12}\right]_0^4$$$=\pi\left(8-\frac{64}{12}\right)=\pi\left(8-\frac{16}{3}\right)=\frac{8\pi}{3}$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 8 — Applications of Integration gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.