Mục lục bài họcĐang ở d02-b1
The Derivative as a Limit
Two equivalent definitions
The derivative of $f$ at $x=a$ is
$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$Both compute the same number: the limit of the slope of a secant line as the second point slides into the first. The result is the slope of the tangent line at $x=a$, and equivalently the instantaneous rate of change of $f$ at $a$.
Reading these definitions backwards is a standard AP move. Given $\lim_{h\to0}\frac{(3+h)^4-81}{h}$, recognise $f(x)=x^4$ and $a=3$, so the limit is $f'(3)=4\cdot27=108$ — no algebra required.
Hai công thức trên là một, chỉ khác cách đặt biến. Cả hai đều tính: hệ số góc của cát tuyến qua hai điểm, rồi cho điểm thứ hai trượt về trùng điểm thứ nhất. Kết quả là hệ số góc tiếp tuyến, cũng chính là tốc độ thay đổi tức thời.
Đọc ngược định nghĩa là kỹ năng ăn điểm nhanh nhất chương này. Gặp $\lim_{h\to0}\frac{(3+h)^4-81}{h}$, đừng khai triển nhị thức: nhận ra đó là $f'(3)$ với $f(x)=x^4$, trả lời $4\cdot 3^3=108$ trong mười giây. Đề AP cài dạng này gần như năm nào cũng có, và thí sinh khai triển tay thì hết giờ.
Dùng định nghĩa giới hạn, tính $f'(x)$ với $f(x)=\sqrt{2x+1}$.
Có căn ⇒ nhân liên hợp. Tử thành $\left(2x+2h+1\right)-\left(2x+1\right)=2h$:
$$=\lim_{h\to0}\frac{2h}{h\left(\sqrt{2x+2h+1}+\sqrt{2x+1}\right)}=\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$$Kiểm chéo bằng quy tắc dây chuyền (Unit 3): $\frac{1}{2}(2x+1)^{-1/2}\cdot 2$ — khớp.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 2 — Differentiation: Definition and Fundamental Properties gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.