Mục lục bài họcĐang ở d06-b2
Margin of Error and Sample Size
What moves the margin of error
$$\text{ME}=z^*\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$$- Higher confidence $\Rightarrow$ larger $z^*$ $\Rightarrow$ wider interval. Confidence and precision trade off; you cannot improve both without more data.
- Larger $n$ $\Rightarrow$ narrower, but only as $\frac{1}{\sqrt n}$.
- $\hat p$ near $0{,}5$ gives the widest interval, which is why $p=0{,}5$ is used when planning.
Choosing n in advance
Set $z^*\sqrt{\frac{p^*(1-p^*)}{n}}\le \text{ME}$ and solve for $n$, using $p^*=0{,}5$ if no prior estimate exists. Always round up — rounding down leaves the margin larger than required.
Ba thứ điều khiển sai số biên, và đề hỏi cả ba:
- Mức tin cậy cao hơn ⇒ $z^*$ lớn hơn ⇒ khoảng rộng ra. Đây là đánh đổi không tránh được: muốn chắc chắn hơn thì phải nói mơ hồ hơn.
- $n$ lớn hơn ⇒ khoảng hẹp lại, nhưng chỉ theo $\frac{1}{\sqrt n}$ — muốn hẹp một nửa phải tăng $n$ gấp bốn.
- $\hat p$ càng gần $0{,}5$ thì khoảng càng rộng, nên khi lập kế hoạch chưa biết gì thì lấy $p^*=0{,}5$ để an toàn.
Tính cỡ mẫu: giải bất phương trình rồi luôn làm tròn LÊN. Làm tròn xuống thì sai số biên vượt quá mức đã hứa — hỏng đúng mục tiêu của phép tính.
Muốn ước lượng một tỉ lệ với sai số biên tối đa $3\%$ ở mức tin cậy $95\%$, chưa có ước lượng trước. Cần cỡ mẫu bao nhiêu?
Dùng $p^*=0{,}5$ (trường hợp xấu nhất) và $z^*=1{,}96$:
$$1{,}96\sqrt{\frac{0{,}25}{n}}\le0{,}03$$$$\sqrt{\frac{0{,}25}{n}}\le\frac{0{,}03}{1{,}96}=0{,}015306$$$$\frac{0{,}25}{n}\le0{,}0002343\ \Longrightarrow\ n\ge1067{,}1$$Làm tròn lên: $n=1068$.
Đây chính là lý do các cuộc thăm dò dư luận hay có cỡ mẫu quanh $1000$–$1100$: đó là mức vừa đủ cho sai số biên $3\%$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 6 — Inference for Categorical Data: Proportions gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.