Mục lục bài họcĐang ở d04-b3
← AP Statistics
0/22 bài đã học xong
Chương 4 · Unit 4 — Probability, Random Variables, and Probability Distributions · Bài 3/3 của chương · bài 11/22 của AP Statistics

Binomial and Geometric Distributions

Phân bố nhị thức và hình học
← Mục lục bài học
Lý thuyết · English

Binomial: four conditions (BINS)

  • Binary — each trial is success or failure.
  • Independent trials.
  • Number of trials $n$ fixed in advance.
  • Same probability $p$ every trial.
$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\quad \mu=np,\quad \sigma=\sqrt{np(1-p)}$$

Geometric: same but no fixed n

Count trials until the first success:

$$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\qquad \mu=\frac1p$$

The distinguishing question: is $n$ fixed (binomial) or are we waiting for the first success (geometric)?

Giải thích tiếng Việt

Nhị thức cần đủ bốn điều kiện — nhớ bằng BINS: mỗi phép thử chỉ hai kết quả, các phép thử độc lập, số phép thử $n$ cố định trước, và xác suất $p$ như nhau mọi lần.

Rubric AP có một điểm riêng cho việc kiểm bốn điều kiện — viết công thức đúng mà bỏ bước này vẫn mất điểm.

Hình học giống hệt nhị thức trừ một chỗ: $n$ không cố định, ta đếm số lần thử cho tới khi có thành công đầu tiên.

Câu hỏi phân biệt duy nhất: số phép thử có được ấn định trước không? Có ⇒ nhị thức. Không, đang chờ thành công đầu ⇒ hình học.

Khi lấy mẫu không hoàn lại, các phép thử không thật sự độc lập; quy ước $10\%$ cho phép coi là xấp xỉ nhị thức nếu $n\le0{,}10N$.

Ví dụ — nhị thức, kiểm điều kiện trước

Một loại hạt nảy mầm với xác suất $0{,}8$. Gieo $10$ hạt độc lập. Tính xác suất đúng $8$ hạt nảy mầm, và số hạt nảy mầm trung bình.

Giải.

Kiểm BINS: mỗi hạt nảy hoặc không (B ✓); các hạt độc lập theo đề (I ✓); $n=10$ cố định (N ✓); $p=0{,}8$ mọi hạt (S ✓). Vậy $X\sim B(10;\,0{,}8)$.

$$P(X=8)=\binom{10}{8}(0{,}8)^8(0{,}2)^2=45\times0{,}1678\times0{,}04\approx0{,}302$$

Trung bình: $\mu=np=10(0{,}8)=8$ hạt.

Bẫy hay mất điểm — “Ít nhất một” hầu như luôn nên tính bằng phần bù: $P(X\ge1)=1-P(X=0)$. Cộng tay từ $1$ tới $n$ vừa dài vừa dễ sót. Và nhớ $\binom{n}{k}$ — quên hệ số tổ hợp là lỗi phổ biến nhất.
Phải nhớ — Kiểm BINS trước khi dùng công thức. $n$ cố định ⇒ nhị thức; chờ thành công đầu ⇒ hình học. “Ít nhất một” ⇒ dùng phần bù.

Đọc xong rồi — làm thử ngay

Bài tập của chương Unit 4 — Probability, Random Variables, and Probability Distributions gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.

Làm bài tập chương →
← Bài trướcRandom Variables and Their CombinationsBài sau →What a Sampling Distribution Is