Mục lục bài họcĐang ở d06-b1
Confidence Intervals for a Proportion
The structure of every interval
$$\text{estimate}\pm\left(\text{critical value}\right)\times\left(\text{standard error}\right)$$For one proportion:
$$\hat p\pm z^*\sqrt{\frac{\hat p\left(1-\hat p\right)}{n}}$$Conditions: random sample; $n\le0{,}10N$; and at least 10 successes and 10 failures in the sample ($n\hat p\ge10$, $n(1-\hat p)\ge10$) — note this uses $\hat p$, not $p$, because $p$ is unknown here.
What 95% confidence means
It describes the method, not the one interval you computed: if the sampling were repeated many times, about $95\%$ of the resulting intervals would capture the true parameter.
It is wrong to say "there is a $95\%$ probability that $p$ is in this interval" — $p$ is a fixed number, either inside or not.
Mọi khoảng tin cậy đều có cùng một cấu trúc: ước lượng ± (giá trị tới hạn) × (sai số chuẩn). Nhớ khung này thì bốn chương suy luận chỉ khác nhau ở chỗ điền gì vào.
Điều kiện cho tỉ lệ: mẫu ngẫu nhiên; $n\le0{,}10N$; và ít nhất 10 thành công và 10 thất bại trong mẫu. Chú ý ở khoảng tin cậy thì kiểm bằng $\hat p$ chứ không phải $p$ — vì $p$ đang là thứ ta đi tìm.
“Tin cậy 95%” nghĩa là gì — đây là câu bị mất điểm nhiều nhất cả môn:
- Đúng: nếu lặp lại việc lấy mẫu và dựng khoảng theo cùng cách này rất nhiều lần, khoảng $95\%$ số khoảng thu được sẽ chứa tham số thật.
- Sai: “có $95\%$ xác suất $p$ nằm trong khoảng này”. $p$ là một con số cố định — nó hoặc nằm trong, hoặc không. Không có xác suất nào ở đây cả.
Câu tin cậy phải nói về phương pháp, không nói về một khoảng cụ thể.
Trong $400$ người được hỏi, $232$ ủng hộ một chính sách. Dựng khoảng tin cậy $95\%$ cho $p$ và diễn giải.
$\hat p=\frac{232}{400}=0{,}58$.
Kiểm điều kiện: mẫu ngẫu nhiên (giả định theo đề); thành công $232\ge10$ và thất bại $168\ge10$ ✓.
Sai số chuẩn: $\sqrt{\dfrac{0{,}58\times0{,}42}{400}}=\sqrt{0{,}000609}\approx0{,}0247$.
Với $z^*=1{,}96$: sai số biên $=1{,}96\times0{,}0247\approx0{,}0484$.
Khoảng: $0{,}58\pm0{,}048$, tức $(0{,}532;\ 0{,}628)$.
Diễn giải: “Chúng tôi tin cậy $95\%$ rằng tỉ lệ toàn bộ dân cư ủng hộ chính sách nằm trong khoảng $53{,}2\%$ đến $62{,}8\%$.”
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 6 — Inference for Categorical Data: Proportions gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.