Mục lục bài họcĐang ở d05-b4
Sampling Distributions for Differences
Two independent samples
Comparing two groups means studying the difference of two statistics. When the samples are independent, the centre of the difference is the difference of centres, and — because variances of independent quantities add — the spread combines by adding variances, exactly as in Unit 4:
$$\mu_{\hat p_1-\hat p_2}=p_1-p_2,\qquad \sigma_{\hat p_1-\hat p_2}=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$$$$\mu_{\bar x_1-\bar x_2}=\mu_1-\mu_2,\qquad \sigma_{\bar x_1-\bar x_2}=\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}$$The plus sign under the root is not a typo: subtracting two noisy quantities makes the result noisier, not calmer.
Shape and conditions
The difference of proportions is approximately normal when each sample passes the large-counts check: $n_1p_1$, $n_1(1-p_1)$, $n_2p_2$, $n_2(1-p_2)$ all at least $10$. The difference of means is normal if both populations are normal, or approximately normal by the CLT when both $n_1$ and $n_2$ are at least $30$. Each sample also needs its own $10\%$ condition. Independence between the two samples is essential — paired data (before/after on the same people) does not use these formulas.
A numeric check
Suppose $p_1=0{,}40$ with $n_1=100$ and $p_2=0{,}30$ with $n_2=150$. Then $\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}=\sqrt{\frac{0{,}24}{100}+\frac{0{,}21}{150}}=\sqrt{0{,}0024+0{,}0014}\approx0{,}062$, so a sample difference of $0{,}18$ is $z=\frac{0{,}18-0{,}10}{0{,}062}\approx1{,}3$ standard errors above its mean.
So sánh hai nhóm là nghiên cứu hiệu của hai thống kê. Khi hai mẫu độc lập, tâm của hiệu là hiệu hai tâm, còn độ rộng thì cộng phương sai — đúng quy tắc của Unit 4:
- Hiệu hai tỉ lệ: tâm $p_1-p_2$, sai số chuẩn $\sqrt{\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$.
- Hiệu hai trung bình: tâm $\mu_1-\mu_2$, sai số chuẩn $\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$.
Dấu cộng dưới căn không phải lỗi in: trừ hai đại lượng nhiễu thì kết quả nhiễu hơn, không êm hơn.
Hình dạng và điều kiện: hiệu hai tỉ lệ xấp xỉ chuẩn khi từng mẫu qua kiểm đếm lớn ($n_1p_1$, $n_1(1-p_1)$, $n_2p_2$, $n_2(1-p_2)$ đều $\ge10$). Hiệu hai trung bình chuẩn nếu cả hai tổng thể chuẩn, hoặc xấp xỉ chuẩn theo CLT khi $n_1$ và $n_2$ đều $\ge30$. Mỗi mẫu cần điều kiện $10\%$ riêng. Hai mẫu phải độc lập: dữ liệu ghép cặp không dùng công thức này.
Ví dụ: $p_1=0{,}40$, $n_1=100$; $p_2=0{,}30$, $n_2=150$. Sai số chuẩn $=\sqrt{0{,}0024+0{,}0014}\approx0{,}062$; hiệu mẫu $0{,}18$ cách tâm $0{,}10$ khoảng $1{,}3$ sai số chuẩn.
Điểm đọc hiểu của học sinh trường X có $\mu_1=520$, $\sigma_1=60$; trường Y có $\mu_2=500$, $\sigma_2=80$. Lấy ngẫu nhiên độc lập $40$ học sinh mỗi trường. Xác suất trung bình mẫu của trường Y cao hơn trung bình mẫu của trường X?
Điều kiện: hai mẫu ngẫu nhiên, độc lập nhau; $n_1=n_2=40\ge30$ nên theo CLT, $\bar x_1-\bar x_2$ xấp xỉ chuẩn; giả sử mỗi trường có hơn $400$ học sinh (điều kiện $10\%$).
Phân bố mẫu của $\bar x_1-\bar x_2$: tâm $520-500=20$; sai số chuẩn
$$\sqrt{\frac{60^2}{40}+\frac{80^2}{40}}=\sqrt{90+160}=\sqrt{250}\approx15{,}8$$Tính: Y cao hơn X nghĩa là $\bar x_1-\bar x_2\lt0$:
$$z=\frac{0-20}{15{,}8}\approx-1{,}27,\qquad P(z\lt-1{,}27)\approx0{,}102$$Kết luận: dù trường X trung bình cao hơn $20$ điểm, vẫn có khoảng $10\%$ khả năng một mẫu $40$ em của trường Y đạt trung bình cao hơn. Chỗ then chốt: cộng $90+160$ dưới căn; ai lấy $\sqrt{160-90}$ hoặc $\dfrac{60+80}{\sqrt{40}}$ đều sai sai số chuẩn.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 5 — Sampling Distributions gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.