Mục lục bài họcĐang ở d07-b1
The t-Distribution and One-Sample Inference
Why t instead of z
When $\sigma$ is unknown we estimate it with $s$, and that extra estimation adds uncertainty. The $t$-distribution accounts for it by having heavier tails than the normal, so critical values are larger and intervals wider.
Degrees of freedom: $df=n-1$ for one sample. As $df$ grows, $t$ approaches $z$.
$$\bar x\pm t^*\frac{s}{\sqrt n},\qquad t=\frac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt n}$$Conditions
- Random sample; $n\le0{,}10N$.
- Normal/large sample: population normal, or $n\ge30$, or a graph of the sample data shows no strong skew and no outliers.
That last option matters: with small $n$ you must actually look at a plot of the data and say what you saw.
Vì sao dùng $t$ chứ không dùng $z$: khi không biết $\sigma$, ta phải ước lượng nó bằng $s$ của mẫu. Việc ước lượng thêm một tham số đưa vào thêm bất định, và phân bố $t$ bù lại bằng đuôi dày hơn — nên giá trị tới hạn lớn hơn và khoảng rộng hơn.
Bậc tự do $df=n-1$ với một mẫu. $df$ càng lớn thì $t$ càng trùng với $z$.
Điều kiện: mẫu ngẫu nhiên; $n\le0{,}10N$; và điều kiện chuẩn/mẫu lớn — tổng thể chuẩn, hoặc $n\ge30$, hoặc vẽ đồ thị dữ liệu mẫu thấy không lệch mạnh và không có giá trị bất thường.
Vế thứ ba quan trọng ở bài có $n$ nhỏ: phải thật sự nói ra rằng đã nhìn đồ thị và thấy gì, không được viết chung chung.
Mẫu $n=25$ có $\bar x=68{,}4$, $s=5{,}2$. Dựng khoảng tin cậy $95\%$ cho $\mu$ ($t^*=2{,}064$ với $df=24$).
Sai số chuẩn: $\dfrac{s}{\sqrt n}=\dfrac{5{,}2}{5}=1{,}04$.
Sai số biên: $2{,}064\times1{,}04\approx2{,}147$.
Khoảng: $68{,}4\pm2{,}15$, tức $(66{,}25;\ 70{,}55)$.
Chú ý nếu dùng nhầm $z^*=1{,}96$ thì sai số biên chỉ còn $2{,}04$ — khoảng hẹp hơn thực tế, tức tự tin quá mức. Đó chính là điều phân bố $t$ sinh ra để ngăn.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 7 — Inference for Quantitative Data: Means gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.