Mục lục bài họcĐang ở d09-b1
Electric fields, potential and capacitance
Electric field and potential
Electric field strength is the force per unit positive charge:
$$E=\frac{F}{q},\qquad E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\ \text{(point charge)},\qquad E=\frac{V}{d}\ \text{(uniform field)}$$Coulomb's law gives the force between two point charges:
$$F=\frac{Q_{1}Q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$$The electric potential of a point charge falls as $\dfrac{1}{r}$, not as $\dfrac{1}{r^{2}}$:
$$V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r},\qquad W=qV$$Unlike gravitational potential, electric potential may be positive or negative, because charge has two signs.
Capacitance
$$C=\frac{Q}{V},\qquad W=\tfrac{1}{2}QV=\tfrac{1}{2}CV^{2}=\frac{Q^{2}}{2C}$$The factor $\tfrac{1}{2}$ appears because the p.d. rises from zero as the capacitor charges, so the mean p.d. is half the final value.
Combinations are the opposite way round from resistors: in parallel $C=C_{1}+C_{2}$, in series $\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{C_{1}}+\dfrac{1}{C_{2}}$.
Discharge through a resistor
$$x=x_{0}\mathrm{e}^{-t/RC}$$valid for $Q$, $V$ and $I$ alike. The time constant is $\tau=RC$, the time for the quantity to fall to $\dfrac{1}{\mathrm{e}}=37\%$ of its value.
Cường độ điện trường là lực trên mỗi đơn vị điện tích dương: $E=\dfrac{F}{q}$. Với điện tích điểm, $E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$; giữa hai bản phẳng song song thì trường đều và $E=\dfrac{V}{d}$. Chú ý hai đơn vị $\text{N C}^{-1}$ và $\text{V m}^{-1}$ là một, và đó chính là điều công thức thứ hai nói.
Định luật Coulomb: $F=\dfrac{Q_{1}Q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$, cùng dạng nghịch đảo bình phương như định luật hấp dẫn nhưng khác ở một điểm căn bản — điện tích có hai dấu nên lực có thể hút hoặc đẩy, trong khi hấp dẫn chỉ hút.
Điện thế của điện tích điểm giảm theo $\dfrac{1}{r}$ chứ không phải $\dfrac{1}{r^{2}}$: $V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r}$, và công dịch chuyển điện tích $q$ qua hiệu điện thế $V$ là $W=qV$. Khác với thế hấp dẫn vốn luôn âm, điện thế có thể dương hoặc âm tuỳ dấu của điện tích gây ra trường.
Điện dung $C=\dfrac{Q}{V}$, và năng lượng tích trữ là
$$W=\tfrac{1}{2}QV=\tfrac{1}{2}CV^{2}=\frac{Q^{2}}{2C}$$Hệ số $\tfrac{1}{2}$ xuất hiện vì hiệu điện thế tăng dần từ $0$ trong lúc nạp, nên hiệu điện thế trung bình chỉ bằng một nửa giá trị cuối. Đây là câu giải thích thang chấm đòi, và nó đúng cùng lý do với hệ số $\tfrac{1}{2}$ của lò xo.
Ghép tụ đi ngược với ghép điện trở: song song thì cộng thẳng $C=C_{1}+C_{2}$, nối tiếp thì cộng nghịch đảo. Cách nhớ có gốc vật lý: mắc song song là tăng diện tích bản nên tăng điện dung; mắc nối tiếp là tăng khoảng cách hiệu dụng nên giảm điện dung.
Phóng điện qua điện trở: $x=x_{0}\mathrm{e}^{-t/RC}$, đúng cho cả $Q$, $V$ và $I$. Hằng số thời gian $\tau=RC$ là thời gian để đại lượng còn $\dfrac{1}{\mathrm{e}}\approx 37\%$ giá trị ban đầu.
Hai bản kim loại phẳng song song cách nhau $8.0$ mm được nối vào nguồn $240$ V. Điện tích electron là $1.6\times 10^{-19}$ C và khối lượng $9.11\times 10^{-31}$ kg. Tính cường độ điện trường giữa hai bản, lực tác dụng lên một electron ở đó, và tốc độ của electron khi nó đi hết khoảng cách giữa hai bản từ trạng thái nghỉ.
Bước 1 — cường độ trường, sau khi đổi milimét sang mét.
$$E=\frac{V}{d}=\frac{240}{8{,}0\times 10^{-3}}=3{,}0\times 10^{4}\ \text{V m}^{-1}$$Bước 2 — lực, không phụ thuộc vị trí vì trường đều.
$$F=qE=\left(1{,}6\times 10^{-19}\right)\left(3{,}0\times 10^{4}\right)=4{,}8\times 10^{-15}\ \text{N}$$So với trọng lượng electron $\left(9{,}11\times 10^{-31}\right)(9{,}81)=8{,}9\times 10^{-30}$ N, lực điện lớn hơn khoảng $10^{15}$ lần — đây là lý do mọi bài hạt tích điện trong điện trường đều bỏ qua trọng lực.
Bước 3 — tốc độ, dùng năng lượng thay vì động lực học. Công của lực điện bằng $qV$ và toàn bộ thành động năng:
$$qV=\tfrac{1}{2}mv^{2}\;\Longrightarrow\;v=\sqrt{\frac{2qV}{m}}=\sqrt{\frac{2\left(1{,}6\times 10^{-19}\right)(240)}{9{,}11\times 10^{-31}}}$$$$v=\sqrt{8{,}43\times 10^{13}}=9{,}18\times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$$Chú ý lối giải bằng năng lượng ngắn hơn hẳn lối dùng $F=ma$ rồi suvat, và nó cũng không cần biết khoảng cách giữa hai bản — công $qV$ chỉ phụ thuộc hiệu điện thế. Kiểm bậc độ lớn: $9{,}2\times 10^{6}$ m s$^{-1}$ bằng khoảng $3\%$ tốc độ ánh sáng, đủ nhỏ để không cần hiệu chỉnh tương đối tính.
Một tụ $470$ μF được nạp tới $12$ V. Tính điện tích và năng lượng tích trữ. Sau đó ba tụ $2.0$ μF, $3.0$ μF và $6.0$ μF được mắc nối tiếp vào nguồn $12$ V; tính điện dung tương đương và điện tích trên mỗi tụ.
Bước 1 — tụ đơn.
$$Q=CV=\left(470\times 10^{-6}\right)(12)=5{,}64\times 10^{-3}\ \text{C}$$$$W=\tfrac{1}{2}CV^{2}=\tfrac{1}{2}\left(470\times 10^{-6}\right)(12)^{2}=3{,}38\times 10^{-2}\ \text{J}$$Kiểm bằng công thức khác: $\tfrac{1}{2}QV=\tfrac{1}{2}\left(5{,}64\times 10^{-3}\right)(12)=3{,}38\times 10^{-2}$ J. Khớp.
Bước 2 — ba tụ nối tiếp, cộng NGHỊCH ĐẢO. Đây là chỗ ngược với điện trở:
$$\frac{1}{C}=\frac{1}{2{,}0}+\frac{1}{3{,}0}+\frac{1}{6{,}0}=\frac{3+2+1}{6}=1\;\Longrightarrow\;C=1{,}0\ \text{μF}$$Điện dung tương đương nhỏ hơn tụ nhỏ nhất trong nhóm — quy tắc kiểm nhanh cho mọi mạch tụ nối tiếp.
Bước 3 — điện tích, và điều làm nối tiếp đặc biệt. Các bản ở giữa cô lập về điện nên điện tích trên mọi tụ nối tiếp bằng nhau:
$$Q=CV=\left(1{,}0\times 10^{-6}\right)(12)=12\ \text{μC}$$Từ đó suy ra hiệu điện thế trên từng tụ: $\dfrac{12}{2{,}0}=6{,}0$ V, $\dfrac{12}{3{,}0}=4{,}0$ V, $\dfrac{12}{6{,}0}=2{,}0$ V. Tổng đúng $12$ V, đúng như định luật Kirchhoff thứ hai đòi. Chú ý tụ nhỏ nhất chịu hiệu điện thế lớn nhất, nên nó là tụ dễ đánh thủng nhất trong dãy.
Bẫy thứ hai: nhớ rằng $E\propto\dfrac{1}{r^{2}}$ rồi áp luôn cho điện thế. Điện thế của điện tích điểm chỉ theo $\dfrac{1}{r}$. Đi ra xa gấp đôi thì cường độ trường còn một phần tư nhưng điện thế còn một nửa. Đây là cùng một bẫy đã có ở chương trường hấp dẫn, và Cambridge cố ý hỏi nó ở cả hai nơi.
Bẫy thứ ba: quên hệ số $\tfrac{1}{2}$ trong năng lượng của tụ và viết $W=QV$. Con số $QV$ là năng lượng mà nguồn cung cấp; đúng một nửa trong đó tích vào tụ, còn nửa kia tiêu tán thành nhiệt ở điện trở trong lúc nạp — một kết quả đúng với mọi giá trị điện trở, kể cả rất nhỏ.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Electric Fields, Capacitance and Magnetic Fields gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.