Mục lục bài họcĐang ở d07-b2
Simple harmonic motion, energy, damping and resonance
Defining simple harmonic motion
A body performs simple harmonic motion when its acceleration is proportional to its displacement from a fixed point and is always directed towards that point:
$$a=-\omega^{2}x$$The minus sign carries the words "towards the equilibrium position" and must be written down; without it the definition is incomplete.
The standard results
$$x=x_{0}\cos\omega t,\qquad v=\pm\omega\sqrt{x_{0}^{2}-x^{2}},\qquad v_{\max}=\omega x_{0},\qquad a_{\max}=\omega^{2}x_{0}$$Velocity is $90^{\circ}$ ahead of displacement; acceleration is in antiphase with displacement. At the extremes the speed is zero and the acceleration is greatest; at the centre the opposite.
Energy
$$E_{\text{total}}=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_{0}^{2},\qquad E_{k}=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}\left(x_{0}^{2}-x^{2}\right),\qquad E_{p}=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}$$Two standard oscillators, damping and resonance
$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\ \text{(mass–spring)},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\ \text{(simple pendulum)}$$Damping removes energy, so the amplitude decays; light damping decays exponentially with almost unchanged period. Resonance occurs when the driving frequency equals the natural frequency: heavier damping gives a lower, broader peak at a slightly lower frequency.
Định nghĩa dao động điều hoà: vật dao động điều hoà khi gia tốc của nó tỉ lệ với li độ so với một điểm cố định và luôn hướng về điểm ấy, tức $a=-\omega^{2}x$. Dấu trừ mang trọn cụm "hướng về vị trí cân bằng"; thang chấm Cambridge trừ điểm nếu chỉ viết "gia tốc tỉ lệ với li độ" mà bỏ chiều.
Các kết quả chuẩn: $x=x_{0}\cos\omega t$, $v=\pm\omega\sqrt{x_{0}^{2}-x^{2}}$, $v_{\max}=\omega x_{0}$, $a_{\max}=\omega^{2}x_{0}$. Quan hệ pha: vận tốc sớm pha $90^{\circ}$ so với li độ, còn gia tốc ngược pha với li độ. Ở hai biên, tốc độ bằng $0$ và gia tốc lớn nhất; ở vị trí cân bằng thì ngược lại — nhớ cặp này là đọc được mọi đồ thị của chương.
Năng lượng. Tổng năng lượng $E=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_{0}^{2}$ giữ nguyên nếu không có tắt dần, còn động năng và thế năng đổi chỗ cho nhau hai lần mỗi chu kỳ. Vì cả hai phụ thuộc $x^{2}$ nên đồ thị năng lượng theo li độ là parabol, và chu kỳ biến thiên năng lượng bằng một nửa chu kỳ dao động — một chi tiết đề rất thích hỏi.
Hai hệ dao động chuẩn: con lắc lò xo $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ và con lắc đơn $T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$. Chú ý con lắc lò xo không phụ thuộc $g$ còn con lắc đơn không phụ thuộc khối lượng.
Tắt dần rút năng lượng khỏi hệ nên biên độ giảm dần; tắt dần nhẹ cho biên độ giảm theo hàm mũ với chu kỳ gần như không đổi. Cộng hưởng xảy ra khi tần số cưỡng bức bằng tần số riêng; tắt dần càng mạnh thì đỉnh cộng hưởng càng thấp, càng rộng, và lệch nhẹ về phía tần số thấp hơn.
Một vật khối lượng $0.40$ kg gắn vào lò xo có độ cứng $25$ N m$^{-1}$, được kéo lệch $8.0$ cm khỏi vị trí cân bằng rồi thả nhẹ. Tính chu kỳ, tốc độ cực đại, gia tốc cực đại và tổng năng lượng dao động.
Bước 1 — tần số góc, đại lượng gốc của mọi phép tính sau.
$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{25}{0{,}40}}=\sqrt{62{,}5}=7{,}91\ \text{rad s}^{-1}$$Bước 2 — chu kỳ.
$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{6{,}283}{7{,}91}=0{,}795\ \text{s}$$Bước 3 — tốc độ và gia tốc cực đại. Biên độ phải đổi sang mét trước:
$$v_{\max}=\omega x_{0}=7{,}91\times 0{,}080=0{,}633\ \text{m s}^{-1}$$$$a_{\max}=\omega^{2}x_{0}=62{,}5\times 0{,}080=5{,}0\ \text{m s}^{-2}$$Bước 4 — tổng năng lượng, tính bằng hai cách để kiểm chéo.
$$E=\tfrac{1}{2}kx_{0}^{2}=\tfrac{1}{2}(25)(0{,}080)^{2}=0{,}080\ \text{J}$$$$E=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_{0}^{2}=\tfrac{1}{2}(0{,}40)(62{,}5)(0{,}0064)=0{,}080\ \text{J}$$Hai công thức cho cùng một số, đúng như phải thế vì $\omega^{2}=\dfrac{k}{m}$ nên $m\omega^{2}=k$.
Kiểm thêm bằng động năng cực đại: $\tfrac{1}{2}mv_{\max}^{2}=\tfrac{1}{2}(0{,}40)(0{,}633)^{2}=0{,}080$ J. Ba đường ra cùng một giá trị, nên toàn bộ chuỗi tính đứng vững.
Một vật dao động điều hoà với biên độ $5.0$ cm và tần số $2.0$ Hz. Tính tốc độ của vật khi li độ bằng $3.0$ cm, và thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí cân bằng tới li độ ấy.
Bước 1 — đổi tần số sang tần số góc. Đây là bước bị bỏ qua nhiều nhất:
$$\omega=2\pi f=2\pi(2{,}0)=12{,}57\ \text{rad s}^{-1}$$Bước 2 — dùng công thức tốc độ theo li độ. Đổi centimét sang mét:
$$v=\omega\sqrt{x_{0}^{2}-x^{2}}=12{,}57\sqrt{(0{,}050)^{2}-(0{,}030)^{2}}=12{,}57\sqrt{1{,}6\times 10^{-3}}$$$$v=12{,}57\times 0{,}040=0{,}503\ \text{m s}^{-1}$$Chú ý bộ ba $3$, $4$, $5$ xuất hiện ở đây: $\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$, nên đáp số bằng đúng $\dfrac{4}{5}$ của tốc độ cực đại $\omega x_{0}=0{,}628$ m s$^{-1}$.
Bước 3 — thời gian, và chỗ máy tính hay phản bội. Đi từ vị trí cân bằng thì dùng dạng sin:
$$x=x_{0}\sin\omega t\;\Longrightarrow\;0{,}030=0{,}050\sin(12{,}57t)$$$$\sin(12{,}57t)=0{,}60\;\Longrightarrow\;12{,}57t=0{,}6435\ \text{rad}$$$$t=\frac{0{,}6435}{12{,}57}=0{,}051\ \text{s}$$Máy tính phải để ở chế độ radian. Nếu để ở chế độ độ thì $\arcsin 0{,}60$ ra $36{,}9$ và kết quả sai gần $60$ lần, một sai số quá lớn để không nhận ra — nhưng dưới sức ép thời gian thì người ta vẫn chép nguyên vào bài. Kiểm nhanh: chu kỳ là $0{,}50$ s, và đi từ tâm ra tới $60\%$ biên độ phải mất ít hơn một phần tư chu kỳ, tức ít hơn $0{,}125$ s. Con số $0{,}051$ s thoả.
Bẫy thứ hai là để máy tính ở chế độ độ khi giải phương trình $x=x_{0}\sin\omega t$. Đại lượng $\omega t$ là một góc tính bằng radian, nên $\arcsin$ và $\arccos$ phải trả về radian. Sai chế độ làm kết quả lệch $\dfrac{180}{\pi}\approx 57$ lần, và đơn vị vẫn ra giây nên không có phép kiểm máy móc nào bắt được.
Bẫy thứ ba: quên đổi biên độ từ centimét sang mét khi tính năng lượng. Vì biên độ bị bình phương trong $E=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_{0}^{2}$ nên sai số nhân lên $10^{4}$ lần, không phải $100$ lần.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Circular Motion, Gravitational Fields and Oscillations gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.