Mục lục bài họcĐang ở d04-b2
Power, efficiency and dissipation
Power
Power is the rate of doing work, or equivalently the rate of energy transfer:
$$P=\frac{W}{t}=\frac{\Delta E}{t}$$For a constant force acting along the direction of motion, substituting $W=Fs$ gives the form used in nearly every vehicle question:
$$P=\frac{Fs}{t}=Fv$$Read that equation carefully: at a steady speed the resultant force is zero, so the driving force equals the total resistive force, and the engine power goes entirely into overcoming resistance. A vehicle reaches its top speed when $P_{\max}=F_{\text{resist}}v_{\max}$.
Efficiency
$$\text{efficiency}=\frac{\text{useful energy output}}{\text{total energy input}}=\frac{\text{useful power output}}{\text{total power input}}$$Efficiency is a ratio, so it has no unit and can never exceed $1$. Whatever is not useful is dissipated, almost always as internal energy of the surroundings, and a Sankey diagram displays the split with band widths drawn to scale.
When a machine both lifts a load and gives it speed, the useful output contains two terms, $mgh$ and $\tfrac{1}{2}mv^{2}$; forgetting the second is the standard slip in pump questions.
Công suất là công thực hiện trong một đơn vị thời gian, cũng là tốc độ chuyển hoá năng lượng: $P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{\Delta E}{t}$, đơn vị oát. Với lực không đổi và cùng hướng chuyển động, thay $W=Fs$ được dạng dùng cho gần như mọi bài xe cộ:
$$P=\frac{Fs}{t}=Fv$$Đọc kỹ phương trình ấy. Khi xe chạy với tốc độ không đổi thì hợp lực bằng $0$, nên lực kéo bằng đúng tổng lực cản, và toàn bộ công suất động cơ dùng để thắng lực cản chứ không làm xe nhanh thêm. Xe đạt tốc độ tối đa đúng lúc $P_{\max}=F_{\text{cản}}v_{\max}$ — đó là toàn bộ nội dung của mọi bài "tính tốc độ lớn nhất".
Hiệu suất bằng năng lượng có ích chia năng lượng cấp vào, hoặc công suất có ích chia công suất cấp vào. Nó là một tỉ số nên không có đơn vị và không bao giờ vượt quá $1$ — ra hiệu suất lớn hơn $100\%$ là dấu hiệu chắc chắn đã lật ngược phân số. Phần không có ích bị tiêu tán, hầu như luôn thành nội năng của môi trường. Sơ đồ Sankey vẽ sự phân chia ấy với bề rộng dải tỉ lệ với công suất.
Một cái bẫy riêng của dạng bài máy bơm: khi máy vừa nâng vật lên cao vừa cấp cho nó tốc độ thì phần có ích gồm hai số hạng, $mgh$ và $\tfrac{1}{2}mv^{2}$. Bỏ quên số hạng thứ hai là lỗi kinh điển, và nó luôn làm hiệu suất tính ra thấp hơn thực tế.
Một máy bơm đưa $72$ kg nước mỗi phút lên độ cao $15$ m và phun ra khỏi vòi với tốc độ $4.0$ m s$^{-1}$. Lấy $g=9.81$ m s$^{-2}$. Tính công suất có ích tối thiểu của máy bơm. Nếu động cơ nhận $250$ W thì hiệu suất là bao nhiêu?
Bước 1 — đổi về lưu lượng mỗi giây. Đây là bước bị bỏ qua nhiều nhất và nó làm sai kết quả đúng $60$ lần:
$$\frac{m}{t}=\frac{72}{60}=1{,}2\ \text{kg s}^{-1}$$Bước 2 — phần công suất nâng nước lên cao.
$$P_{1}=\frac{m}{t}gh=1{,}2\times 9{,}81\times 15=177\ \text{W}$$Bước 3 — phần công suất cấp động năng cho nước. Nước không chỉ được nâng lên, nó còn rời vòi với tốc độ $4{,}0$ m s$^{-1}$:
$$P_{2}=\tfrac{1}{2}\frac{m}{t}v^{2}=\tfrac{1}{2}(1{,}2)(4{,}0)^{2}=9{,}6\ \text{W}$$Bước 4 — cộng lại và tính hiệu suất.
$$P=177+9{,}6=186\ \text{W};\qquad \eta=\frac{186}{250}=0{,}75=75\%$$Chú ý tỉ lệ giữa hai phần: động năng chỉ chiếm $5\%$ tổng công suất, nên bỏ quên nó không làm đáp số sai lệch nhiều — nhưng vẫn mất điểm, vì thang chấm của Cambridge cho riêng một điểm cho việc nhận ra có hai số hạng. Nếu vòi phun mạnh hơn, chẳng hạn $20$ m s$^{-1}$, thì phần động năng thành $240$ W và lúc ấy nó lớn hơn cả phần nâng cao.
Một xe khối lượng $1250$ kg chạy đều trên đường ngang ở $28$ m s$^{-1}$ với công suất có ích $24$ kW. Sau đó xe leo một con dốc có độ dốc $1$ trên $15$ với cùng tốc độ, lực cản không đổi. Tính lực cản trên đường ngang và công suất cần thiết khi leo dốc.
Bước 1 — lực cản trên đường ngang. Tốc độ không đổi nên hợp lực bằng $0$, lực kéo bằng đúng lực cản:
$$F=\frac{P}{v}=\frac{24000}{28}=857\ \text{N}$$Bước 2 — thành phần trọng lực dọc mặt dốc. Độ dốc "1 trên 15" nghĩa là $\sin\theta=\dfrac{1}{15}$:
$$mg\sin\theta=\frac{1250\times 9{,}81}{15}=818\ \text{N}$$Bước 3 — lực kéo mới và công suất mới. Trên dốc, lực kéo phải thắng cả lực cản lẫn thành phần trọng lực:
$$F'=857+818=1675\ \text{N};\qquad P'=F'v=1675\times 28=4{,}7\times 10^{4}\ \text{W}$$Công suất gần như gấp đôi chỉ vì một con dốc thoai thoải $3{,}8^{\circ}$. Đó là lý do xe phải về số khi lên dốc: động cơ không đủ công suất để giữ nguyên tốc độ.
Đọc ngược lại cho câu hỏi hay đi kèm: nếu công suất tối đa của xe là $24$ kW thì trên dốc ấy tốc độ tối đa chỉ còn $v=\dfrac{24000}{1675}=14$ m s$^{-1}$, đúng một nửa. Mọi bài "tốc độ tối đa" đều giải bằng đúng một phương trình $P_{\max}=F_{\text{cản}}v_{\max}$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Work, Energy and Power gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.