Mục lục bài họcĐang ở d08-b2
The ideal gas and the kinetic model
The equation of state
$$pV=nRT=NkT,\qquad k=\frac{R}{N_{A}}=1.38\times 10^{-23}\ \text{J K}^{-1}$$Here $n$ is the amount in mol and $N$ the number of molecules. The temperature $T$ is always in kelvin. For a fixed mass of gas this contains Boyle's law, the constant-volume law and the constant-pressure law as special cases:
$$\frac{p_{1}V_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}V_{2}}{T_{2}}$$The kinetic model
The assumptions are: a large number of identical molecules in continual random motion; the volume of the molecules is negligible compared with the volume of the container; there are no intermolecular forces except during collisions; collisions are perfectly elastic and of negligible duration compared with the time between them.
Adding up the momentum change $2mc$ at each wall collision gives
$$pV=\tfrac{1}{3}Nm\left\langle c^{2}\right\rangle$$Comparing with $pV=NkT$ gives the result the whole topic turns on:
$$\tfrac{1}{2}m\left\langle c^{2}\right\rangle=\tfrac{3}{2}kT$$So the mean translational kinetic energy of a molecule depends on temperature alone, not on the type of gas.
Work done by an expanding gas
$$W=p\Delta V\qquad\text{(constant pressure)}$$Phương trình trạng thái: $pV=nRT=NkT$, với $k=\dfrac{R}{N_{A}}=1{,}38\times 10^{-23}$ J K$^{-1}$ là hằng số Boltzmann, $n$ là số mol và $N$ là số phân tử. Nhiệt độ $T$ luôn tính bằng kelvin. Với khối khí không đổi, mọi định luật riêng lẻ gói trong một dòng: $\dfrac{p_{1}V_{1}}{T_{1}}=\dfrac{p_{2}V_{2}}{T_{2}}$.
Bốn giả thiết của mô hình khí lý tưởng, và đề hỏi nguyên văn: số phân tử rất lớn, giống hệt nhau, chuyển động hỗn loạn không ngừng; thể tích riêng của các phân tử không đáng kể so với thể tích bình; không có lực tương tác giữa các phân tử ngoại trừ lúc va chạm; va chạm hoàn toàn đàn hồi và thời gian va chạm rất ngắn so với thời gian giữa hai lần va.
Cộng dồn biến thiên động lượng $2mc$ ở mỗi lần phân tử đập vào thành bình rồi chia đều cho ba phương, ta được
$$pV=\tfrac{1}{3}Nm\left\langle c^{2}\right\rangle$$So với $pV=NkT$ thì rút ra kết quả mà cả chủ đề xoay quanh:
$$\tfrac{1}{2}m\left\langle c^{2}\right\rangle=\tfrac{3}{2}kT$$Nghĩa là động năng tịnh tiến trung bình của một phân tử chỉ phụ thuộc nhiệt độ, không phụ thuộc loại khí. Hệ quả hay bị hỏi: ở cùng nhiệt độ, phân tử nhẹ hơn đi nhanh hơn theo tỉ lệ $\dfrac{1}{\sqrt{m}}$ — hydro nhanh gấp bốn lần oxy ở cùng nhiệt độ.
Công của khí giãn nở ở áp suất không đổi là $W=p\Delta V$, và trên giản đồ $p$–$V$ nó chính là diện tích dưới đường biểu diễn.
Một bình thể tích $0.050$ m$^{3}$ chứa khí lý tưởng ở áp suất $2.4\times 10^{5}$ Pa và nhiệt độ $300$ K. Cho $R=8.31$ J mol$^{-1}$ K$^{-1}$ và $N_{A}=6.02\times 10^{23}$ mol$^{-1}$. Tính số mol khí, số phân tử khí, và tổng động năng tịnh tiến của toàn bộ khối khí.
Bước 1 — số mol.
$$n=\frac{pV}{RT}=\frac{\left(2{,}4\times 10^{5}\right)(0{,}050)}{(8{,}31)(300)}=\frac{1{,}2\times 10^{4}}{2493}=4{,}81\ \text{mol}$$Bước 2 — số phân tử.
$$N=nN_{A}=4{,}81\times 6{,}02\times 10^{23}=2{,}90\times 10^{24}$$Kiểm bằng đường độc lập, dùng hằng số Boltzmann thay hằng số khí:
$$N=\frac{pV}{kT}=\frac{1{,}2\times 10^{4}}{\left(1{,}38\times 10^{-23}\right)(300)}=\frac{1{,}2\times 10^{4}}{4{,}14\times 10^{-21}}=2{,}90\times 10^{24}$$Hai lối cùng một số, vì $k=\dfrac{R}{N_{A}}$ theo đúng định nghĩa.
Bước 3 — tổng động năng tịnh tiến. Mỗi phân tử có động năng trung bình $\tfrac{3}{2}kT$:
$$E=N\times\tfrac{3}{2}kT=\left(2{,}90\times 10^{24}\right)\times\tfrac{3}{2}\left(1{,}38\times 10^{-23}\right)(300)=1{,}80\times 10^{4}\ \text{J}$$Lối tắt đáng nhớ: $E=\tfrac{3}{2}nRT=\tfrac{3}{2}pV=\tfrac{3}{2}\left(1{,}2\times 10^{4}\right)=1{,}80\times 10^{4}$ J. Với khí lý tưởng đơn nguyên tử thì tổng động năng tịnh tiến luôn bằng đúng $\tfrac{3}{2}pV$, một quan hệ gọn tới mức nên nhớ để kiểm chéo.
Phân tử nitơ có khối lượng $4.65\times 10^{-26}$ kg. Cho $k=1.38\times 10^{-23}$ J K$^{-1}$. Tính tốc độ căn quân phương của phân tử nitơ ở $300$ K, rồi so sánh với tốc độ căn quân phương của phân tử hydro (khối lượng $3.34\times 10^{-27}$ kg) ở cùng nhiệt độ.
Bước 1 — dùng quan hệ giữa động năng và nhiệt độ.
$$\tfrac{1}{2}m\left\langle c^{2}\right\rangle=\tfrac{3}{2}kT\;\Longrightarrow\;\left\langle c^{2}\right\rangle=\frac{3kT}{m}$$Bước 2 — thay số cho nitơ.
$$\left\langle c^{2}\right\rangle=\frac{3\left(1{,}38\times 10^{-23}\right)(300)}{4{,}65\times 10^{-26}}=\frac{1{,}242\times 10^{-20}}{4{,}65\times 10^{-26}}=2{,}67\times 10^{5}\ \text{m}^{2}\text{s}^{-2}$$$$c_{\text{rms}}=\sqrt{2{,}67\times 10^{5}}=517\ \text{m s}^{-1}$$Con số này lớn hơn tốc độ âm trong không khí ($340$ m s$^{-1}$) một chút, đúng như phải thế: âm lan truyền nhờ chính chuyển động của các phân tử nên không thể nhanh hơn chúng.
Bước 3 — hydro, và lối tắt bằng tỉ lệ. Cùng nhiệt độ thì $\tfrac{1}{2}m\left\langle c^{2}\right\rangle$ như nhau, nên $c_{\text{rms}}\propto\dfrac{1}{\sqrt{m}}$:
$$\frac{c_{\text{H}}}{c_{\text{N}}}=\sqrt{\frac{4{,}65\times 10^{-26}}{3{,}34\times 10^{-27}}}=\sqrt{13{,}9}=3{,}73$$$$c_{\text{H}}=3{,}73\times 517=1{,}93\times 10^{3}\ \text{m s}^{-1}$$Đây là lý do khí quyển Trái Đất gần như không còn hydro tự do: ở tốc độ gần $2$ km s$^{-1}$, một phần đáng kể phân tử hydro vượt được tốc độ thoát và bay khỏi hành tinh qua hàng tỉ năm, trong khi nitơ và oxy chậm hơn nhiều nên ở lại.
Bẫy thứ hai nằm ở chính chữ "căn quân phương". Đại lượng $\left\langle c^{2}\right\rangle$ là trung bình của bình phương tốc độ, không phải bình phương của tốc độ trung bình; hai số ấy khác nhau và $c_{\text{rms}}$ luôn lớn hơn tốc độ trung bình một chút. Quên lấy căn ở bước cuối là lỗi cơ học hay gặp, và nó cho đáp số cỡ $10^{5}$ với đơn vị $\text{m}^{2}\text{s}^{-2}$ — kiểm đơn vị bắt được ngay.
Bẫy thứ ba: dùng khối lượng một mol ($0{,}028$ kg cho nitơ) ở chỗ công thức đòi khối lượng một phân tử. Sai số $6\times 10^{23}$ lần, quá lớn để không nhận ra, nhưng vẫn xảy ra khi đề cho khối lượng mol và người làm quên chia cho $N_{A}$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Thermal Physics and Ideal Gases gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.