Mục lục bài họcĐang ở d07-b1
Circular motion and gravitational fields
Circular motion
Angle in radians is arc divided by radius, and for uniform circular motion
$$\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f,\qquad v=r\omega,\qquad a=\frac{v^{2}}{r}=r\omega^{2}$$The acceleration points to the centre, so the resultant force does too. That force is not a new kind of force: it is supplied by tension, friction, gravity, or a normal contact force. Because it is always perpendicular to the velocity, it does no work, and the speed stays constant while the velocity changes continuously.
Newton's law of gravitation
$$F=\frac{GMm}{r^{2}},\qquad g=\frac{GM}{r^{2}}$$Here $r$ is measured from the centre of the body, never from its surface. For a satellite in a circular orbit, gravity supplies the centripetal force:
$$\frac{GMm}{r^{2}}=\frac{mv^{2}}{r}\;\Longrightarrow\;v=\sqrt{\frac{GM}{r}},\qquad T^{2}=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{GM}$$The satellite mass cancels, so every satellite at a given radius has the same speed and period.
Gravitational potential
$$\varphi=-\frac{GM}{r},\qquad E_{p}=-\frac{GMm}{r}$$The zero of potential is taken at infinity, so every finite potential is negative, and $g=-\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}r}$.
Chuyển động tròn đều. Tần số góc $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f$, tốc độ dài $v=r\omega$, và gia tốc hướng tâm $a=\dfrac{v^{2}}{r}=r\omega^{2}$. Chú ý ngay ở đây một chỗ mất điểm rất hay gặp: công thức đòi $\omega$ tính bằng radian trên giây, không phải $f$ tính bằng vòng trên giây — lắp nhầm làm kết quả sai đúng $4\pi^{2}$ lần, tức gần $40$ lần.
Gia tốc hướng vào tâm, nên hợp lực cũng hướng vào tâm. Lực hướng tâm không phải một loại lực mới: nó do lực căng dây, ma sát, trọng lực hay phản lực pháp tuyến cung cấp — đề luôn hỏi "lực nào đóng vai trò lực hướng tâm". Và vì nó luôn vuông góc với vận tốc nên nó không sinh công: tốc độ giữ nguyên trong khi vận tốc đổi liên tục vì hướng đổi.
Định luật vạn vật hấp dẫn: $F=\dfrac{GMm}{r^{2}}$ và cường độ trường $g=\dfrac{GM}{r^{2}}$, với $r$ đo từ tâm vật, không bao giờ từ mặt. Vệ tinh trên quỹ đạo tròn có lực hấp dẫn đóng vai trò lực hướng tâm:
$$\frac{GMm}{r^{2}}=\frac{mv^{2}}{r}\;\Longrightarrow\;v=\sqrt{\frac{GM}{r}},\qquad T^{2}=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{GM}$$Khối lượng vệ tinh rút gọn hết, nên mọi vệ tinh ở cùng bán kính đều có cùng tốc độ và cùng chu kỳ, bất kể nặng nhẹ. Đây là lý do trạm vũ trụ và một con ốc vít rơi ra khỏi nó vẫn bay cạnh nhau.
Thế hấp dẫn $\varphi=-\dfrac{GM}{r}$ và thế năng $E_{p}=-\dfrac{GMm}{r}$. Mốc thế $0$ đặt ở vô cùng vì đó là chỗ duy nhất lực hấp dẫn thật sự bằng $0$, nên mọi giá trị hữu hạn đều âm. Quan hệ giữa hai đại lượng: $g$ là độ dốc của $\varphi$ theo $r$, lấy dấu ngược.
Một vệ tinh địa tĩnh quay quanh Trái Đất với chu kỳ đúng $24$ giờ trên quỹ đạo tròn nằm trong mặt phẳng xích đạo. Cho $GM=3.99\times 10^{14}$ m$^{3}$ s$^{-2}$ và bán kính Trái Đất $6.4\times 10^{6}$ m. Tính bán kính quỹ đạo, độ cao so với mặt đất và tốc độ dài của vệ tinh.
Bước 1 — đổi chu kỳ sang giây.
$$T=24\times 3600=8{,}64\times 10^{4}\ \text{s}$$Bước 2 — dùng định luật ba của Kepler dưới dạng suy ra từ $F=ma$.
$$T^{2}=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{GM}\;\Longrightarrow\;r^{3}=\frac{GM\,T^{2}}{4\pi^{2}}=\frac{\left(3{,}99\times 10^{14}\right)\left(7{,}46\times 10^{9}\right)}{39{,}48}=7{,}54\times 10^{22}$$$$r=\left(7{,}54\times 10^{22}\right)^{1/3}=4{,}22\times 10^{7}\ \text{m}$$Bước 3 — độ cao, và đây là chỗ đề hay hỏi tách riêng.
$$h=r-R=4{,}22\times 10^{7}-6{,}4\times 10^{6}=3{,}58\times 10^{7}\ \text{m}$$Bước 4 — tốc độ dài.
$$v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\pi\left(4{,}22\times 10^{7}\right)}{8{,}64\times 10^{4}}=3{,}07\times 10^{3}\ \text{m s}^{-1}$$Kiểm bằng đường độc lập: $v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}=\sqrt{\dfrac{3{,}99\times 10^{14}}{4{,}22\times 10^{7}}}=3{,}07\times 10^{3}$ m s$^{-1}$. Hai lối cùng một số.
Chú ý ba điều đề thường hỏi thêm. Bán kính $4{,}22\times 10^{7}$ m gấp khoảng $6{,}6$ lần bán kính Trái Đất, nên vệ tinh địa tĩnh ở rất xa. Khối lượng vệ tinh không xuất hiện ở dòng nào, nên mọi vệ tinh địa tĩnh đều ở đúng độ cao ấy. Và quỹ đạo bắt buộc nằm trong mặt phẳng xích đạo, vì tâm quỹ đạo phải trùng tâm Trái Đất.
Một quả cầu khối lượng $0.20$ kg buộc vào đầu một sợi dây dài $0.75$ m và quay trong mặt phẳng thẳng đứng. Lấy $g=9.81$ m s$^{-2}$. Tính tốc độ nhỏ nhất tại điểm cao nhất để dây còn căng, và lực căng dây tại điểm thấp nhất khi quả cầu đi qua đó với tốc độ $6.0$ m s$^{-1}$.
Bước 1 — điểm cao nhất, và ý nghĩa của "dây vừa còn căng". Ở đỉnh, cả trọng lực lẫn lực căng đều hướng xuống, tức đều hướng vào tâm:
$$T+mg=\frac{mv^{2}}{r}$$Tốc độ nhỏ nhất ứng với $T=0$, khi trọng lực một mình vừa đủ làm lực hướng tâm:
$$mg=\frac{mv^{2}}{r}\;\Longrightarrow\;v=\sqrt{gr}=\sqrt{9{,}81\times 0{,}75}=2{,}71\ \text{m s}^{-1}$$Khối lượng rút gọn, nên tốc độ tối thiểu ấy không phụ thuộc quả cầu nặng bao nhiêu.
Bước 2 — điểm thấp nhất, dấu đổi hoàn toàn. Ở đáy, lực căng hướng lên tức vào tâm, còn trọng lực hướng xuống tức ra xa tâm:
$$T-mg=\frac{mv^{2}}{r}$$$$T=mg+\frac{mv^{2}}{r}=0{,}20(9{,}81)+\frac{0{,}20(6{,}0)^{2}}{0{,}75}=1{,}96+9{,}60=11{,}6\ \text{N}$$So sánh hai đầu quỹ đạo: ở đáy dây chịu $11{,}6$ N còn ở đỉnh có thể chỉ chịu $0$ N. Dây luôn đứt ở điểm thấp nhất, và đó là câu hỏi phụ Cambridge hay kèm theo.
Sai lầm phổ biến nhất của dạng bài này là dùng chung một phương trình cho cả hai vị trí. Phải vẽ lại giản đồ lực ở từng điểm rồi hỏi: lực nào đang hướng vào tâm? Ở đỉnh cả hai lực đều hướng vào tâm nên chúng cộng; ở đáy chúng ngược nhau nên chúng trừ.
Bẫy thứ hai: dùng $f$ ở chỗ phải dùng $\omega$. Vật quay $3{,}0$ vòng mỗi giây có $\omega=2\pi(3{,}0)=18{,}8$ rad s$^{-1}$, và gia tốc hướng tâm $r\omega^{2}$ lớn hơn $rf^{2}$ đúng $4\pi^{2}\approx 39{,}5$ lần. Sai số gần bốn mươi lần thì đơn vị vẫn đúng nên phép kiểm đơn vị không bắt được — chỉ có thói quen viết hẳn dòng "$\omega=2\pi f=\ldots$" ra giấy mới chặn được.
Bẫy thứ ba, tinh hơn: nhớ rằng $g$ theo $\dfrac{1}{r^{2}}$ rồi áp luôn tỉ lệ ấy cho thế $\varphi$. Thế chỉ theo $\dfrac{1}{r}$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Circular Motion, Gravitational Fields and Oscillations gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.