Mục lục bài họcĐang ở d03-b1
Turning effects: moments, couples and equilibrium
Moment, couple and torque
The moment of a force about a point is the product of the force and the perpendicular distance from the point to the line of action of the force:
$$\text{moment}=F\times d_{\perp}=Fx\sin\theta$$A couple is a pair of equal, antiparallel forces whose lines of action do not coincide. Its torque is $Fd$, where $d$ is the perpendicular separation of the two lines. A couple gives no resultant force at all, only rotation, and its torque is the same about every point.
Equilibrium of a rigid body
Two conditions must both hold:
- the resultant force in any direction is zero;
- the resultant moment about any point is zero (the principle of moments: sum of clockwise moments equals sum of anticlockwise moments).
Choosing the point wisely is the whole technique: take moments about a point through which an unknown force acts, and that unknown vanishes from the equation.
Centre of gravity
The centre of gravity is the single point at which the entire weight of a body may be taken to act. For a uniform body of regular shape it lies at the geometric centre. Three non-parallel coplanar forces in equilibrium must all pass through one point, and their vectors form a closed triangle.
Mômen của lực quanh một điểm bằng tích của lực với khoảng cách vuông góc từ điểm đó tới giá của lực: $M=Fd_{\perp}=Fx\sin\theta$. Chữ "vuông góc" là chỗ mất điểm nhiều nhất — lấy chiều dài cần cờ lê nhân thẳng với lực là đúng chỉ khi lực vuông góc với cần.
Ngẫu lực (couple) là hai lực bằng nhau, ngược chiều, giá không trùng nhau. Mômen ngẫu lực (torque) bằng $Fd$ với $d$ là khoảng cách vuông góc giữa hai giá. Hai điều đáng nhớ: hợp lực của ngẫu lực bằng $0$ nên nó chỉ gây quay chứ không gây tịnh tiến, và mômen của nó như nhau quanh mọi điểm — không cần chọn tâm quay.
Hai điều kiện cân bằng của vật rắn phải thoả đồng thời: hợp lực theo mọi phương bằng $0$, và tổng mômen quanh mọi điểm bằng $0$ (principle of moments: tổng mômen cùng chiều kim đồng hồ bằng tổng mômen ngược chiều kim đồng hồ). Kỹ thuật giải nằm trọn ở chỗ chọn điểm lấy mômen: lấy quanh điểm mà một lực chưa biết đi qua thì lực ấy biến mất khỏi phương trình, còn lại đúng một ẩn.
Trọng tâm là điểm mà toàn bộ trọng lượng của vật có thể coi như đặt vào. Vật đồng chất, hình dạng đều thì trọng tâm ở tâm hình học. Một kết quả rất hay dùng: ba lực đồng phẳng không song song mà cân bằng thì ba giá của chúng phải đồng quy tại một điểm, và ba vectơ lực ghép thành một tam giác khép kín — vẽ tam giác ấy rồi dùng định lý hàm sin thường nhanh hơn chiếu lực.
Một tấm ván đồng chất dài $4.0$ m, trọng lượng $180$ N, đặt nằm ngang trên hai giá đỡ: giá A cách đầu trái $0.60$ m, giá B cách đầu trái $3.2$ m. Một thùng hàng trọng lượng $250$ N đặt cách đầu trái $3.8$ m. Tính lực mà mỗi giá đỡ tác dụng lên ván.
Bước 1 — liệt kê vị trí, đo tất cả từ đầu trái. Trọng tâm ván ở $2{,}0$ m vì ván đồng chất; thùng ở $3{,}8$ m; hai giá ở $0{,}60$ m và $3{,}2$ m.
Bước 2 — lấy mômen quanh B để khử $R_{B}$. Cánh tay đòn tính từ B ($3{,}2$ m): giá A cách $2{,}6$ m về bên trái, trọng tâm cách $1{,}2$ m về bên trái, thùng cách $0{,}6$ m về bên phải.
$$R_{A}(2{,}6)+250(0{,}6)=180(1{,}2)$$$$2{,}6R_{A}=216-150=66\;\Longrightarrow\;R_{A}=25{,}4\ \text{N}$$Chú ý thùng đứng bên phải B nên mômen của nó cùng chiều với mômen của $R_{A}$, phải nằm cùng vế — đây là chỗ dấu quyết định cả bài.
Bước 3 — dùng điều kiện hợp lực bằng $0$ cho lực còn lại.
$$R_{A}+R_{B}=180+250=430\;\Longrightarrow\;R_{B}=430-25{,}4=405\ \text{N}$$Bước 4 — kiểm bằng cách lấy mômen quanh A. Cánh tay đòn từ A ($0{,}60$ m): trọng tâm $1{,}4$ m, thùng $3{,}2$ m, giá B $2{,}6$ m.
$$R_{B}(2{,}6)=180(1{,}4)+250(3{,}2)=252+800=1052\;\Longrightarrow\;R_{B}=405\ \text{N}$$Khớp. Nhìn lại tỉ lệ: thùng đứng gần B nên B gánh gần hết, còn A chỉ chịu $25$ N — chỉ cần dịch thùng ra thêm chừng $0{,}3$ m nữa là $R_{A}$ về $0$ và ván lật.
Một thanh đồng chất dài $1.2$ m, trọng lượng $60$ N, gắn vào tường bằng bản lề ở đầu trái và giữ nằm ngang nhờ một sợi dây nối từ đầu phải tới tường, dây hợp với thanh góc $35^{\circ}$. Một vật nặng $40$ N treo tại điểm cách bản lề $0.90$ m. Tính lực căng dây.
Bước 1 — lấy mômen quanh bản lề. Bản lề tác dụng lên thanh một lực chưa biết cả về độ lớn lẫn về hướng; lấy mômen quanh chính nó thì lực ấy có cánh tay đòn bằng $0$ và biến mất hoàn toàn. Đây là lý do duy nhất để chọn bản lề làm tâm.
Bước 2 — cánh tay đòn của lực căng. Dây gắn ở đầu thanh, cách bản lề $1{,}2$ m, nhưng dây xiên nên phải lấy thành phần vuông góc với thanh:
$$M_{T}=T\times 1{,}2\times\sin 35^{\circ}=T\times 1{,}2\times 0{,}5736=0{,}688T$$Bước 3 — mômen của hai trọng lượng. Trọng lượng thanh đặt ở trọng tâm, tức $0{,}60$ m; vật nặng ở $0{,}90$ m. Cả hai hướng thẳng đứng, vuông góc với thanh nằm ngang nên cánh tay đòn chính là khoảng cách ấy.
$$M=60(0{,}60)+40(0{,}90)=36+36=72\ \text{N m}$$Bước 4 — cân bằng mômen.
$$0{,}688T=72\;\Longrightarrow\;T=105\ \text{N}$$Lực căng lớn hơn hẳn tổng trọng lượng $100$ N, và đó là hệ quả trực tiếp của góc nhỏ: chỉ $57\%$ lực căng làm việc nâng thanh, phần còn lại ép thanh vào tường. Góc càng bé, dây càng phải căng — đây là lý do các giá treo trong thực tế không bao giờ làm dây gần song song với thanh.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Forces, Density, Pressure and Deformation gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.