Mục lục bài họcĐang ở d07-b3
Sampling, estimation and hypothesis testing
Sampling and the Central Limit Theorem
For a random sample of size $n$ from a population with mean $\mu$ and variance $\sigma^{2}$:
$$\text{E}\left(\bar X\right)=\mu,\qquad \text{Var}\left(\bar X\right)=\frac{\sigma^{2}}{n}$$The Central Limit Theorem says that for large $n$, $\bar X$ is approximately normal whatever the population distribution. This is what makes inference possible without knowing the population shape.
Unbiased estimates
$$\hat\mu=\bar x=\frac{\sum x}{n},\qquad s^{2}=\frac{1}{n-1}\left(\sum x^{2}-\frac{\left(\sum x\right)^{2}}{n}\right)$$The divisor is $n-1$, not $n$: dividing by $n$ systematically underestimates the spread.
Confidence intervals
$$\bar x\pm z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\qquad(z=1.96\ \text{for}\ 95\%,\ 2.576\ \text{for}\ 99\%)$$Hypothesis tests
- state $H_{0}$ and $H_{1}$ in terms of a population parameter;
- compare the $p$-value with the significance level, or the test statistic with the critical value;
- conclude in context, and never claim to have proved anything;
- a Type I error is rejecting a true $H_{0}$; a Type II error is failing to reject a false $H_{0}$.
Lấy mẫu và định lý giới hạn trung tâm. Với mẫu ngẫu nhiên cỡ $n$ từ tổng thể có trung bình $\mu$ và phương sai $\sigma^{2}$:
$$\text{E}\left(\bar X\right)=\mu,\qquad \text{Var}\left(\bar X\right)=\frac{\sigma^{2}}{n}$$Định lý giới hạn trung tâm nói rằng với $n$ đủ lớn, $\bar X$ xấp xỉ phân phối chuẩn bất kể tổng thể có phân phối gì. Đây chính là thứ cho phép làm suy luận thống kê mà không cần biết hình dạng tổng thể — và là câu trả lời cho câu hỏi “why can the sample mean be treated as normal?” trong đề.
Chú ý phương sai của trung bình mẫu chia cho $n$, nên độ lệch chuẩn chia cho $\sqrt{n}$: muốn giảm sai số một nửa thì phải tăng cỡ mẫu lên bốn lần.
Ước lượng không chệch.
$$\hat\mu=\bar x,\qquad s^{2}=\frac{1}{n-1}\left(\sum x^{2}-\frac{\left(\sum x\right)^{2}}{n}\right)$$Mẫu số là $n-1$ chứ không phải $n$: các giá trị trong mẫu tản quanh chính trung bình mẫu, gần hơn so với quanh trung bình tổng thể, nên chia cho $n$ sẽ đánh giá thấp độ tản một cách có hệ thống.
Khoảng tin cậy. $\bar x\pm z\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, với $z=1.96$ cho mức $95\%$ và $z=2.576$ cho mức $99\%$.
Kiểm định giả thuyết. Bốn kỷ luật trình bày, mỗi cái đều có điểm: nêu $H_{0}$ và $H_{1}$ theo tham số tổng thể; so $p$ với mức ý nghĩa (hoặc so thống kê kiểm định với giá trị tới hạn); kết luận gắn với ngữ cảnh đề cho; và tuyệt đối không dùng chữ “chứng minh”. Sai lầm loại I là bác bỏ $H_{0}$ đúng; sai lầm loại II là không bác bỏ $H_{0}$ sai.
Một mẫu ngẫu nhiên gồm $100$ linh kiện có tuổi thọ trung bình $25.0$ giờ. Biết độ lệch chuẩn của tổng thể là $\sigma=5$ giờ. Lập khoảng tin cậy $95\%$ cho trung bình tổng thể $\mu$, và giải thích ý nghĩa của nó.
Bước 1 — sai số chuẩn.
$$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{5}{\sqrt{100}}=0.5$$Bước 2 — khoảng.
$$25.0\pm 1.96(0.5)=25.0\pm 0.98$$$$(24.02,\ 25.98)$$Bước 3 — đọc cho đúng. Câu diễn giải chuẩn là: nếu lặp lại quy trình lấy mẫu này rất nhiều lần, khoảng $95\%$ số khoảng thu được sẽ chứa $\mu$.
Cách nói sai mà rất phổ biến: “có $95\%$ xác suất $\mu$ nằm trong khoảng $(24.02,\ 25.98)$”. Sai vì $\mu$ là một hằng số cố định, không ngẫu nhiên — nó hoặc nằm trong khoảng đó, hoặc không. Thứ ngẫu nhiên ở đây là khoảng, vì nó đổi theo từng mẫu. Cambridge chấm điểm riêng cho câu diễn giải này, và nó là điểm dễ mất nhất của cả bài.
Hai nhận xét thực dụng. Nâng lên mức $99\%$ thì $z$ tăng lên $2.576$ nên khoảng rộng hơn — chắc chắn hơn thì phải nói mơ hồ hơn. Tăng $n$ lên $400$ thì sai số chuẩn giảm một nửa nên khoảng hẹp đi một nửa; muốn hẹp một nửa thì phải tốn gấp bốn lần cỡ mẫu.
Số lỗi trên mỗi cuộn vải xưa nay theo phân phối $\text{Po}(4)$. Sau một thay đổi quy trình, một cuộn được kiểm và thấy có $1$ lỗi. Kiểm định ở mức $5\%$ xem trung bình số lỗi có giảm hay không, rồi tìm miền bác bỏ và xác suất sai lầm loại I.
Bước 1 — giả thuyết, viết theo tham số tổng thể.
$$H_{0}:\ \lambda=4\qquad H_{1}:\ \lambda<4$$Bước 2 — tính $p$. Đây là kiểm định một phía bên trái, nên $p$ là xác suất quan sát được kết quả bằng hoặc cực đoan hơn giá trị đã thấy:
$$p=P(X\le 1\mid \lambda=4)=e^{-4}(1+4)=5(0.018316)=0.0916$$Bước 3 — so sánh và kết luận. $0.0916>0.05$, nên không bác bỏ $H_{0}$. Chưa có đủ bằng chứng ở mức $5\%$ để kết luận rằng số lỗi trung bình mỗi cuộn đã giảm.
Bước 4 — miền bác bỏ. Vì $X$ nhận giá trị nguyên, phải dò từng giá trị:
$$P(X\le 0)=e^{-4}=0.0183<0.05\qquad P(X\le 1)=0.0916>0.05$$Vậy miền bác bỏ chỉ gồm $X=0$.
Bước 5 — sai lầm loại I. Đó là xác suất rơi vào miền bác bỏ khi $H_{0}$ đúng:
$$P(\text{loại I})=P(X=0\mid\lambda=4)=0.0183$$Chú ý con số này nhỏ hơn mức ý nghĩa $5\%$, và đó không phải sai sót: với biến rời rạc, miền bác bỏ chỉ nhảy theo từng bậc nguyên nên hiếm khi khớp đúng $5\%$. Ra một số lớn hơn $0.05$ mới là dấu hiệu đã chọn nhầm miền bác bỏ.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Probability & Statistics — Further gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.