Mục lục bài họcĐang ở d04-b1
Arithmetic, conjugates and polynomial roots
The four operations
Addition and multiplication follow ordinary algebra with $i^{2}=-1$. Division is done by multiplying top and bottom by the conjugate of the denominator:
$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^{2}+d^{2}}$$The denominator becomes real because $(c+di)(c-di)=c^{2}+d^{2}$.
Conjugate
If $z=x+iy$ then $z^{*}=x-iy$, and
$$z+z^{*}=2x\ (\text{real}),\qquad zz^{*}=x^{2}+y^{2}=|z|^{2}\ (\text{real, non-negative})$$Roots of polynomials with real coefficients
If all coefficients are real and $z$ is a root, then $z^{*}$ is also a root. Consequences used constantly:
- complex roots occur in conjugate pairs;
- a real cubic has either three real roots, or one real root and one conjugate pair — so it always has at least one real root;
- knowing one complex root gives a real quadratic factor $z^{2}-(z_{1}+z_{1}^{*})z+z_{1}z_{1}^{*}$.
Note the condition: coefficients must be real. For $z^{2}+2z+(9-6i)=0$ the roots are not conjugates.
Bốn phép tính. Cộng và nhân làm như đại số thường với $i^{2}=-1$. Chia thì nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu:
$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^{2}+d^{2}}$$Mẫu thành số thực vì $(c+di)(c-di)=c^{2}+d^{2}$. Nhân nhầm với liên hợp của tử là lỗi hay gặp, và nó cho ra một mẫu vẫn còn $i$ — đó là dấu hiệu để tự bắt lỗi ngay dòng đó.
Liên hợp. Nếu $z=x+iy$ thì $z^{*}=x-iy$, và hai tổ hợp sau luôn là số thực: $z+z^{*}=2x$ và $zz^{*}=x^{2}+y^{2}=|z|^{2}$. Chú ý $zz^{*}$ là $|z|^{2}$ chứ không phải $|z|$ — quên bình phương là lỗi mất điểm đều đặn.
Nghiệm của đa thức hệ số thực. Nếu mọi hệ số đều thực và $z$ là nghiệm thì $z^{*}$ cũng là nghiệm. Ba hệ quả dùng liên tục:
- nghiệm phức luôn đi thành cặp liên hợp;
- phương trình bậc ba hệ số thực hoặc có ba nghiệm thực, hoặc có một nghiệm thực và một cặp liên hợp — nên nó luôn có ít nhất một nghiệm thực;
- biết một nghiệm phức là có ngay một nhân tử bậc hai hệ số thực: $z^{2}-\left(z_{1}+z_{1}^{*}\right)z+z_{1}z_{1}^{*}$.
Nhớ kỹ điều kiện: hệ số phải thực. Với $z^{2}+2z+(9-6i)=0$ thì hai nghiệm không liên hợp với nhau, và áp máy móc quy tắc cặp liên hợp vào đó là sai ngay từ dòng đầu.
Viết $\dfrac{2+3i}{1-i}$ dưới dạng $x+iy$ với $x,y$ là số thực.
Nhân tử và mẫu với liên hợp của mẫu, tức $1+i$:
$$\frac{2+3i}{1-i}\times\frac{1+i}{1+i}=\frac{(2+3i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$$Tử: $2+2i+3i+3i^{2}=2+5i-3=-1+5i$. Chú ý $3i^{2}=-3$, không phải $+3$ — đây là chỗ mất điểm nhiều nhất của phép nhân.
Mẫu: $(1-i)(1+i)=1^{2}+1^{2}=2$.
$$\frac{-1+5i}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i$$Kiểm ngược: nhân kết quả với $1-i$ phải ra $2+3i$. Thật vậy, $\left(-\tfrac{1}{2}+\tfrac{5}{2}i\right)(1-i)=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}i+\tfrac{5}{2}i+\tfrac{5}{2}=2+3i$. Phép kiểm này mất mười lăm giây và bắt được mọi lỗi dấu.
Biết $z=2+i$ là một nghiệm của $z^{3}-3z^{2}+z+5=0$. Tìm hai nghiệm còn lại.
Bước 1 — dùng cặp liên hợp. Mọi hệ số của phương trình đều thực, nên $z=2-i$ cũng là nghiệm.
Bước 2 — dựng nhân tử bậc hai hệ số thực. Với cặp $2\pm i$:
$$\text{tổng}=4,\qquad \text{tích}=(2+i)(2-i)=4+1=5$$$$\Rightarrow\ \text{nhân tử } z^{2}-4z+5$$Bước 3 — chia. Chia $z^{3}-3z^{2}+z+5$ cho $z^{2}-4z+5$ được thương $z+1$:
$$(z+1)\left(z^{2}-4z+5\right)=z^{3}-4z^{2}+5z+z^{2}-4z+5=z^{3}-3z^{2}+z+5$$Vậy nghiệm còn lại là $z=2-i$ và $z=-1$.
Cách dựng nhân tử qua tổng và tích nhanh hơn hẳn cách nhân bung $\left(z-(2+i)\right)\left(z-(2-i)\right)$, và nó không đẻ ra $i$ ở bước trung gian nào — nên không có chỗ nào để sai dấu.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Complex Numbers gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.