Mục lục bài họcĐang ở d01-b3
Series, differentiation and integration
Binomial expansion
$$(a+b)^{n}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$$The term in $b^{r}$ is $\binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$ — the powers of $a$ and $b$ must always add to $n$.
Arithmetic and geometric progressions
- AP: $u_{n}=a+(n-1)d$, $S_{n}=\tfrac{n}{2}\big[2a+(n-1)d\big]$;
- GP: $u_{n}=ar^{n-1}$, $S_{n}=\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$;
- $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$ exists only when $|r|<1$.
Differentiation
$\dfrac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$, extended by the chain rule $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ and connected rates $\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$.
Stationary points: solve $\dfrac{dy}{dx}=0$; classify with $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ (positive $\Rightarrow$ minimum, negative $\Rightarrow$ maximum).
Integration
$$\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\quad(n\neq-1),\qquad \int_{a}^{b}(y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}})\,dx=\text{area}$$Volume of revolution about the $x$-axis: $V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b}y^{2}\,dx$.
Khai triển nhị thức. Số hạng chứa $b^{r}$ là $\binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$. Quy tắc kiểm nhanh: số mũ của $a$ cộng số mũ của $b$ luôn bằng $n$. Viết ra một số hạng mà hai số mũ không cộng lại thành $n$ thì chắc chắn đã lắp nhầm.
Cấp số cộng và cấp số nhân. CSC: $u_{n}=a+(n-1)d$, $S_{n}=\tfrac{n}{2}\big[2a+(n-1)d\big]$. CSN: $u_{n}=ar^{n-1}$, $S_{n}=\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$. Tổng vô hạn $S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$ chỉ tồn tại khi $|r|<1$ — đề rất hay cho một $r$ vi phạm điều kiện này rồi chấm điểm ở chỗ thí sinh có nhận ra hay không.
Đạo hàm. $\dfrac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$, mở rộng bằng quy tắc dây chuyền $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ và bài toán tốc độ liên hệ $\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$. Điểm dừng: giải $\dfrac{dy}{dx}=0$, phân loại bằng $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ — dương là cực tiểu, âm là cực đại.
Tích phân. $\displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$ với $n\neq-1$. Diện tích giữa hai đường là $\displaystyle\int_{a}^{b}(y_{\text{trên}}-y_{\text{dưới}})\,dx$, và thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành là $V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b}y^{2}\,dx$ — có $\pi$, và bình phương cả biểu thức $y$ chứ không bình phương từng hạng tử.
Tính diện tích miền giới hạn bởi đường cong $y=6x-x^{2}$ và đường thẳng $y=x+4$.
Bước 1 — tìm cận. Cận của tích phân là hoành độ giao điểm, không phải nghiệm của riêng parabol:
$$6x-x^{2}=x+4\;\Longrightarrow\;x^{2}-5x+4=0\;\Longrightarrow\;x=1,\ x=4$$Bước 2 — xác định đường nào ở trên. Thử $x=2$: parabol cho $12-4=8$, đường thẳng cho $6$. Vậy parabol nằm trên.
Bước 3 — lấy tích phân của hiệu.
$$A=\int_{1}^{4}\big[(6x-x^{2})-(x+4)\big]dx=\int_{1}^{4}(-x^{2}+5x-4)\,dx$$$$=\left[-\frac{x^{3}}{3}+\frac{5x^{2}}{2}-4x\right]_{1}^{4}=\left(-\frac{64}{3}+40-16\right)-\left(-\frac{1}{3}+\frac{5}{2}-4\right)$$$$=\frac{8}{3}-\left(-\frac{11}{6}\right)=\frac{16}{6}+\frac{11}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$$Vậy diện tích bằng $\dfrac{9}{2}$ đơn vị diện tích.
Lấy hiệu trước rồi mới tích phân là cách gọn nhất và tránh được lỗi trừ nhầm dấu ở cuối. Tích phân riêng từng đường rồi trừ cũng ra đúng, nhưng phải cẩn thận là cả hai dùng chung cận $1$ và $4$.
Một cấp số nhân có tổng vô hạn bằng $9$ và tổng hai số hạng đầu bằng $5$. Biết công bội dương, tìm công bội và số hạng đầu.
Bước 1 — viết hai phương trình.
$$\frac{a}{1-r}=9\;\Longrightarrow\;a=9(1-r)$$$$a+ar=a(1+r)=5$$Bước 2 — thế.
$$9(1-r)(1+r)=5\;\Longrightarrow\;9(1-r^{2})=5\;\Longrightarrow\;r^{2}=\frac{4}{9}$$Công bội dương nên $r=\dfrac{2}{3}$, và $a=9\left(1-\dfrac{2}{3}\right)=3$.
Bước 3 — kiểm điều kiện. $|r|=\dfrac{2}{3}<1$ nên tổng vô hạn thật sự tồn tại. Bước này không phải hình thức: nếu bài ra $r=-\dfrac{3}{2}$ thì lời giải phải loại nghiệm đó, và điểm của câu nằm ở chính chỗ loại.
Nhận ra $(1-r)(1+r)=1-r^{2}$ là mấu chốt — nó biến hệ hai ẩn thành một phương trình một ẩn mà không cần giải hệ.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Pure Mathematics 1 gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.