Mục lục bài họcĐang ở d07-b1
The Poisson distribution and linear combinations
The Poisson distribution
$$X\sim\text{Po}(\lambda):\qquad P(X=r)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{r}}{r!},\qquad \text{E}(X)=\text{Var}(X)=\lambda$$Poisson models the number of events in a fixed interval when events occur singly, independently, and at a constant average rate. All three conditions are examinable in words.
- Scaling the interval scales $\lambda$: $3$ per hour becomes $\text{Po}(9)$ over three hours;
- independent Poissons add: $\text{Po}(a)+\text{Po}(b)=\text{Po}(a+b)$;
- $\text{B}(n,p)$ with large $n$ and small $p$ is approximated by $\text{Po}(np)$.
Linear combinations
$$\text{E}(aX+bY)=a\,\text{E}(X)+b\,\text{E}(Y)$$$$\text{Var}(aX+bY)=a^{2}\text{Var}(X)+b^{2}\text{Var}(Y)\quad(X,Y\ \text{independent})$$Two consequences that decide most questions: the coefficients are squared in the variance, and $\text{Var}(X-Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$ — variances add even when the means subtract.
Phân phối Poisson.
$$X\sim\text{Po}(\lambda):\qquad P(X=r)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{r}}{r!},\qquad \text{E}(X)=\text{Var}(X)=\lambda$$Poisson mô hình hoá số lần xảy ra trong một khoảng cố định, với ba điều kiện: các sự kiện xảy ra đơn lẻ (không hai cái cùng đúng một khoảnh khắc), độc lập với nhau, và với tốc độ trung bình không đổi. Cả ba đều là nội dung được hỏi bằng lời trong đề, nên phải thuộc cách diễn đạt chứ không chỉ hiểu ý.
- đổi độ dài khoảng thì $\lambda$ đổi theo tỉ lệ: $3$ lần mỗi giờ trở thành $\text{Po}(9)$ trong ba giờ;
- hai Poisson độc lập cộng lại vẫn là Poisson: $\text{Po}(a)+\text{Po}(b)=\text{Po}(a+b)$;
- $\text{B}(n,p)$ với $n$ lớn và $p$ nhỏ xấp xỉ bằng $\text{Po}(np)$.
Tổ hợp tuyến tính của biến ngẫu nhiên.
$$\text{E}(aX+bY)=a\,\text{E}(X)+b\,\text{E}(Y)$$$$\text{Var}(aX+bY)=a^{2}\text{Var}(X)+b^{2}\text{Var}(Y)\quad(X,Y\ \text{độc lập})$$Hai hệ quả quyết định phần lớn câu hỏi. Thứ nhất, hệ số được bình phương trong công thức phương sai. Thứ hai, $\text{Var}(X-Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$ — phương sai cộng ngay cả khi kỳ vọng trừ, vì $(-1)^{2}=1$. Về ý nghĩa: lấy hiệu hai đại lượng ngẫu nhiên thì độ bất định chồng lên nhau, không triệt tiêu nhau.
Cuộc gọi đến một tổng đài theo phân phối Poisson với trung bình $3$ cuộc mỗi $10$ phút. Tính xác suất có hơn $8$ cuộc gọi trong một khoảng $30$ phút.
Bước 1 — đổi tham số theo độ dài khoảng. Khoảng dài gấp ba, nên trung bình cũng gấp ba:
$$\lambda=3\times 3=9\;\Longrightarrow\;X\sim\text{Po}(9)$$Đây là bước quyết định cả bài, và nó bị bỏ quên rất thường xuyên: thí sinh tính với $\lambda=3$ trong khi đề hỏi về $30$ phút.
Bước 2 — đổi “hơn $8$” sang dạng tích luỹ. “Hơn $8$” nghĩa là $X\ge 9$, tức
$$P(X>8)=1-P(X\le 8)$$Bước 3 — tra bảng tích luỹ. Với $\lambda=9$, bảng cho $P(X\le 8)=0.4557$.
$$P(X>8)=1-0.4557=0.544$$Kiểm hợp lý: kỳ vọng là $9$, và $8$ nằm ngay dưới kỳ vọng, nên xác suất vượt qua nó phải hơi lớn hơn $0.5$. Được $0.544$ — khớp.
Chú ý phân biệt bốn cách diễn đạt: “hơn $8$” là $X\ge 9$; “ít nhất $8$” là $X\ge 8$; “nhiều nhất $8$” là $X\le 8$; “dưới $8$” là $X\le 7$. Bốn con số khác nhau, và bảng chỉ cho một trong số đó.
Khối lượng một hộp rỗng là $B\sim\text{N}(200,\,25)$ gam; khối lượng một sản phẩm là $I\sim\text{N}(60,\,9)$ gam, mọi đại lượng độc lập. Tìm phân phối của tổng khối lượng một hộp chứa $5$ sản phẩm, và so sánh với phân phối của $B+5I$.
Trường hợp 1 — hộp chứa năm sản phẩm. Tổng là $T=B+I_{1}+I_{2}+\cdots+I_{5}$, với năm biến $I$ độc lập với nhau:
$$\text{E}(T)=200+5(60)=500$$$$\text{Var}(T)=25+9+9+9+9+9=25+45=70$$$$T\sim\text{N}(500,\,70)$$Trường hợp 2 — biểu thức $B+5I$. Ở đây chỉ có một biến $I$, được nhân lên năm lần, nên hệ số bị bình phương:
$$\text{Var}(B+5I)=25+5^{2}(9)=25+225=250$$Vì sao khác nhau tới ba lần rưỡi. $5I$ mô tả một sản phẩm duy nhất rồi nhân khối lượng của nó với năm — nếu sản phẩm ấy nặng hơn trung bình thì cả năm phần đều nặng hơn cùng một lúc. Còn $I_{1}+\cdots+I_{5}$ là năm sản phẩm khác nhau: cái nặng và cái nhẹ bù trừ lẫn nhau, nên tổng tản ít hơn hẳn.
Kỳ vọng của hai trường hợp bằng nhau ($500$), phương sai thì không. Đó là lý do phải đọc kỹ đề đang nói về năm vật hay năm lần một vật.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Probability & Statistics — Further gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.