Mục lục bài họcĐang ở d02-b3
Further differentiation, integration and numerical solution
Standard derivatives
$$\frac{d}{dx}e^{kx}=ke^{kx},\quad \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x},\quad \frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\quad \frac{d}{dx}\tan x=\sec^{2}x$$Three rules
- Product: $(uv)'=u'v+uv'$;
- Quotient: $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ — the order in the numerator matters;
- Implicit: differentiate both sides with respect to $x$, treating $y$ as a function of $x$, so $\dfrac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\dfrac{dy}{dx}$.
Standard integrals
$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+c,\qquad \int u\,\frac{dv}{dx}dx=uv-\int v\,\frac{du}{dx}dx$$Numerical solution
A sign change of a continuous $f$ between $a$ and $b$ guarantees a root in $(a,b)$. An iteration $x_{n+1}=g(x_{n})$ converges to a root of $x=g(x)$ — so to identify the equation being solved, replace every $x_{n}$ and $x_{n+1}$ by $x$ and rearrange.
Bảng đạo hàm cơ bản và ba quy tắc. Ở quy tắc thương $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$, thứ tự ở tử là nội dung, không phải hình thức: viết ngược thành $uv'-u'v$ là sai dấu toàn bộ kết quả, mà kết quả vẫn trông hợp lý nên không tự phát hiện được.
Đạo hàm hàm ẩn. Lấy đạo hàm hai vế theo $x$, coi $y$ là hàm của $x$. Mọi hạng tử chứa $y$ đều sinh ra thừa số $\dfrac{dy}{dx}$: $\dfrac{d}{dx}\left(y^{2}\right)=2y\dfrac{dy}{dx}$, và $\dfrac{d}{dx}(xy)=y+x\dfrac{dy}{dx}$ theo quy tắc tích.
Hai tích phân đáng thuộc nhất:
$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+c,\qquad \int u\,\frac{dv}{dx}\,dx=uv-\int v\,\frac{du}{dx}\,dx$$Công thức đầu nhận diện bằng mắt: tử đúng bằng đạo hàm của mẫu, sai lệch thì chỉ sai một hằng số nhân. Công thức tích phân từng phần chọn $u$ là phần đạo hàm đi thì đơn giản dần — với $x e^{2x}$ thì $u=x$, vì $x$ đạo hàm ra $1$ còn $e^{2x}$ thì đạo hàm mãi không hết.
Giải gần đúng. Hàm liên tục đổi dấu giữa $a$ và $b$ thì chắc chắn có nghiệm trong khoảng đó. Phép lặp $x_{n+1}=g(x_{n})$ hội tụ về nghiệm của $x=g(x)$ — muốn biết nó đang giải phương trình nào thì thay mọi $x_{n}$ và $x_{n+1}$ bằng $x$ rồi biến đổi về dạng đa thức.
Tính $\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{2x}\,dx$, để kết quả dưới dạng chính xác.
Chọn $u$ và $\dfrac{dv}{dx}$. Lấy $u=x$ (đạo hàm ra $1$, đơn giản dần) và $\dfrac{dv}{dx}=e^{2x}$ (nguyên hàm dễ). Khi đó $\dfrac{du}{dx}=1$ và $v=\dfrac{1}{2}e^{2x}$.
$$\int_{0}^{1}xe^{2x}\,dx=\left[\frac{x}{2}e^{2x}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{1}{2}e^{2x}\,dx$$Phần đầu: $\dfrac{1}{2}e^{2}-0=\dfrac{e^{2}}{2}$.
Phần sau:
$$\int_{0}^{1}\frac{1}{2}e^{2x}\,dx=\left[\frac{1}{4}e^{2x}\right]_{0}^{1}=\frac{e^{2}}{4}-\frac{1}{4}$$Ghép lại:
$$\frac{e^{2}}{2}-\left(\frac{e^{2}}{4}-\frac{1}{4}\right)=\frac{e^{2}}{4}+\frac{1}{4}$$Chọn ngược ($u=e^{2x}$) thì tích phân còn lại chứa $x^{2}e^{2x}$ — khó hơn bài ban đầu. Nếu sau một lần từng phần mà bài phức tạp lên, đó là dấu hiệu chọn nhầm $u$, quay lại chọn lại chứ đừng đi tiếp.
Đường cong $x^{2}+3xy+y^{2}=5$ đi qua điểm $(1,1)$. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó.
Đạo hàm hai vế theo $x$. Hạng tử $3xy$ cần quy tắc tích:
$$2x+3\left(y+x\frac{dy}{dx}\right)+2y\frac{dy}{dx}=0$$Thế toạ độ ngay, đừng giải tổng quát. Tại $(1,1)$:
$$2+3\left(1+\frac{dy}{dx}\right)+2\frac{dy}{dx}=0\;\Longrightarrow\;5+5\frac{dy}{dx}=0\;\Longrightarrow\;\frac{dy}{dx}=-1$$Thế số trước khi rút $\dfrac{dy}{dx}$ là cách nhanh hơn hẳn: rút tổng quát ra $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x+3y}{3x+2y}$ rồi mới thế cũng đúng, nhưng dài hơn và dễ sai dấu.
Quên thừa số $\dfrac{dy}{dx}$ ở hạng tử $y^{2}$ — viết $2y$ thay vì $2y\dfrac{dy}{dx}$ — là lỗi phổ biến nhất của mảng này, và nó cho ra một con số trông hoàn toàn bình thường.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Pure Mathematics — Further Pure gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.