Mục lục bài họcĐang ở d03-b1
Vectors, magnitude and the scalar product
Position vectors and displacement
If $A$ and $B$ have position vectors $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$, then $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$ — destination minus start. The distance $AB$ is $|\mathbf{b}-\mathbf{a}|$.
For $\mathbf{v}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$: $|\mathbf{v}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, and the unit vector in that direction is $\hat{\mathbf{v}}=\dfrac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$.
The scalar product
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$$Two consequences carry almost every vector question in the paper:
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$ $\iff$ the vectors are perpendicular (neither being zero);
- $\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$, so a negative scalar product means an obtuse angle.
The scalar product of two vectors is a number, not a vector. Writing $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ as $\mathbf{i}$-, $\mathbf{j}$-, $\mathbf{k}$-components is a category error.
Vectơ vị trí và vectơ dịch chuyển. Nếu $A$, $B$ có vectơ vị trí $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ thì $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$ — điểm đến trừ điểm đi. Viết ngược là đảo chiều vectơ, và ở câu tính góc thì lỗi này cho ra góc bù chứ không cho ra số vô lý, nên rất khó tự phát hiện.
Với $\mathbf{v}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$ thì $|\mathbf{v}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, và vectơ đơn vị cùng hướng là $\dfrac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ — chia cho độ dài, không phải chia cho bình phương độ dài.
Tích vô hướng.
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$$Hai hệ quả gánh gần như toàn bộ câu vectơ của đề thi:
- $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$ khi và chỉ khi hai vectơ vuông góc (với điều kiện không vectơ nào là vectơ không);
- $\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$, nên tích vô hướng âm nghĩa là góc tù.
Tích vô hướng của hai vectơ là một số, không phải vectơ. Viết kết quả kèm $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ là sai về bản chất, và người chấm trừ điểm ngay cả khi ba con số đều đúng.
Cho $\mathbf{a}=3\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ và $\mathbf{b}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}-2\mathbf{k}$. Tìm giá trị $\lambda$ sao cho $\mathbf{a}+\lambda\mathbf{b}$ vuông góc với $\mathbf{b}$.
Dịch điều kiện. “Vuông góc với $\mathbf{b}$” nghĩa là tích vô hướng với $\mathbf{b}$ bằng $0$:
$$(\mathbf{a}+\lambda\mathbf{b})\cdot\mathbf{b}=0\;\Longrightarrow\;\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\lambda\,\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}=0$$Tính hai tích vô hướng.
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=3(1)+(-1)(2)+2(-2)=3-2-4=-3$$$$\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{b}|^{2}=1+4+4=9$$$$-3+9\lambda=0\;\Longrightarrow\;\lambda=\frac{1}{3}$$Chỗ đáng nhớ là $\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{b}|^{2}$ — dùng tính chất này thì không phải khai triển từng thành phần lần thứ hai. Cách làm dài (cộng vectơ trước rồi mới nhân vô hướng) cho cùng đáp số nhưng tốn gấp ba số dòng, và Paper 3 luôn thiếu giờ.
Tìm góc giữa hai vectơ $\mathbf{a}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-6\mathbf{k}$ và $\mathbf{b}=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k}$, chính xác tới $0.1^{\circ}$.
Ba đại lượng cần trước.
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2(1)+3(-2)+(-6)(2)=2-6-12=-16$$$$|\mathbf{a}|=\sqrt{4+9+36}=7,\qquad |\mathbf{b}|=\sqrt{1+4+4}=3$$$$\cos\theta=\frac{-16}{21}=-0.7619\;\Longrightarrow\;\theta=139.6^{\circ}$$Đọc dấu. Tích vô hướng âm, nên góc phải tù — kết quả $139.6^{\circ}$ khớp với dự đoán đó. Nếu bấm máy ra một góc nhọn trong khi tích vô hướng âm thì chắc chắn đã đánh rơi dấu trừ ở đâu đó.
Nếu đề hỏi góc giữa hai đường thẳng có phương $\mathbf{a}$ và $\mathbf{b}$ thì đáp số lại là $180^{\circ}-139.6^{\circ}=40.4^{\circ}$: đường thẳng không có chiều, nên góc giữa hai đường thẳng theo quy ước luôn là góc nhọn.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Vectors and Differential Equations gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.