Mục lục bài họcĐang ở d06-b3
Discrete random variables and the normal distribution
Discrete random variables
$$\text{E}(X)=\sum xP(X=x),\qquad \text{Var}(X)=\sum x^{2}P(X=x)-\big[\text{E}(X)\big]^{2}$$The probabilities in the table must sum to $1$ — checking that first catches most arithmetic slips.
The binomial distribution
$X\sim\text{B}(n,p)$ requires four conditions: a fixed number $n$ of trials, two outcomes each time, a constant $p$, and independent trials.
$$P(X=r)=\binom{n}{r}p^{r}(1-p)^{n-r},\qquad \text{E}(X)=np,\qquad \text{Var}(X)=np(1-p)$$Sampling without replacement breaks independence, so such a variable is not binomial.
The normal distribution
$X\sim\text{N}\left(\mu,\sigma^{2}\right)$ — the second parameter is the variance, not the standard deviation.
$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\text{N}(0,1)$$Working backwards from a probability to a value uses the inverse: find $z$ first, then $x=\mu+z\sigma$.
Biến ngẫu nhiên rời rạc.
$$\text{E}(X)=\sum xP(X=x),\qquad \text{Var}(X)=\sum x^{2}P(X=x)-\big[\text{E}(X)\big]^{2}$$Việc đầu tiên với mọi bảng phân phối là kiểm tổng xác suất bằng $1$. Bước ấy mất năm giây và bắt được phần lớn lỗi số học trước khi chúng lan sang $\text{E}(X)$ và $\text{Var}(X)$.
Phân phối nhị thức. $X\sim\text{B}(n,p)$ đòi bốn điều kiện: số phép thử $n$ cố định, mỗi lần chỉ hai kết quả, $p$ không đổi, và các phép thử độc lập.
$$P(X=r)=\binom{n}{r}p^{r}(1-p)^{n-r},\qquad \text{E}(X)=np,\qquad \text{Var}(X)=np(1-p)$$Lấy mẫu không hoàn lại phá vỡ điều kiện độc lập — mỗi lần rút làm đổi thành phần còn lại — nên biến đếm khi ấy không phải nhị thức. Đây là điểm Cambridge hỏi thẳng bằng câu “state an assumption needed”.
Phân phối chuẩn. Ký hiệu $X\sim\text{N}\left(\mu,\sigma^{2}\right)$: tham số thứ hai là phương sai, không phải độ lệch chuẩn. Với $\text{N}(50,16)$ thì $\sigma=4$ chứ không phải $16$.
$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\text{N}(0,1)$$Bài ngược — từ xác suất tìm giá trị — làm theo đúng thứ tự: tra $z$ trước, rồi mới $x=\mu+z\sigma$. Và luôn vẽ phác đường cong kèm phần được tô: nó quyết định lấy $z$ dương hay âm, chuyện mà bảng số không nói cho biết.
Một túi có $3$ bi đỏ và $5$ bi xanh. Rút ngẫu nhiên $2$ bi không hoàn lại. Gọi $X$ là số bi đỏ rút được. Lập bảng phân phối của $X$, tính $\text{E}(X)$, và giải thích vì sao $X$ không có phân phối nhị thức.
Bước 1 — ba xác suất.
$$P(X=0)=\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}=\frac{20}{56}$$$$P(X=1)=\frac{3}{8}\times\frac{5}{7}+\frac{5}{8}\times\frac{3}{7}=\frac{30}{56}$$$$P(X=2)=\frac{3}{8}\times\frac{2}{7}=\frac{6}{56}$$Bước 2 — kiểm tổng. $\dfrac{20+30+6}{56}=\dfrac{56}{56}=1$. Đúng, nên có thể đi tiếp.
Bước 3 — kỳ vọng.
$$\text{E}(X)=0\left(\frac{20}{56}\right)+1\left(\frac{30}{56}\right)+2\left(\frac{6}{56}\right)=\frac{42}{56}=\frac{3}{4}$$Bước 4 — vì sao không nhị thức. Vì rút không hoàn lại, xác suất rút được bi đỏ ở lần thứ hai phụ thuộc vào kết quả lần thứ nhất ($\dfrac{2}{7}$ nếu lần đầu ra đỏ, $\dfrac{3}{7}$ nếu không). Hai phép thử không độc lập và $p$ không cố định — vi phạm hai trong bốn điều kiện của phân phối nhị thức.
Kiểm hợp lý: nếu có hoàn lại thì $X\sim\text{B}\left(2,\dfrac{3}{8}\right)$ và $\text{E}(X)=2\left(\dfrac{3}{8}\right)=\dfrac{3}{4}$ — trùng với kết quả trên. Kỳ vọng thì trùng, nhưng phương sai thì không: đó là lý do phải nêu rõ mô hình chứ không dựa vào một con số khớp.
Điểm thi $X$ có phân phối $\text{N}\left(72,\,8^{2}\right)$. Top $15\%$ thí sinh được xếp loại $A$. Tìm điểm tối thiểu để đạt loại $A$, làm tròn tới số nguyên.
Bước 1 — vẽ và xác định dấu. Phần được tô là đuôi phải chiếm $15\%$, tức nhỏ hơn nửa đường cong, nên mốc cần tìm nằm bên phải trung bình và $z$ phải dương.
Bước 2 — đổi sang dạng bảng cho. Bảng cho $P(Z
Điểm là số nguyên, nên muốn vượt mốc $80.3$ thì phải đạt tối thiểu $81$ điểm.
Hai chỗ dễ mất điểm ở dạng này. Thứ nhất, tra thẳng $z$ ứng với $0.15$ sẽ ra $z=-1.036$ và cho đáp số $63.7$ — một mốc nằm dưới trung bình, vô lý cho “top $15\%$”; vẽ hình là bắt được ngay. Thứ hai, làm tròn $80.3$ thành $80$ là sai chiều: $80$ điểm chưa vượt mốc.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Probability & Statistics 1 gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.