Mục lục bài họcĐang ở d02-b2
Logarithms, exponentials and further trigonometry
Laws of logarithms
$$\log a+\log b=\log(ab),\quad \log a-\log b=\log\frac{a}{b},\quad k\log a=\log a^{k}$$These laws are only for logs of the same base, and $\log$ of a sum is never the sum of logs.
Linearising a power law
If $y=ax^{n}$ then $\lg y=n\lg x+\lg a$: plotting $\lg y$ against $\lg x$ gives a straight line of gradient $n$ and intercept $\lg a$.
If $y=ab^{x}$ then $\lg y=(\lg b)x+\lg a$: here the horizontal axis is $x$ itself, not $\lg x$.
Further trigonometry
- $\sin 2A=2\sin A\cos A$; $\cos 2A=2\cos^{2}A-1=1-2\sin^{2}A$; $\tan 2A=\dfrac{2\tan A}{1-\tan^{2}A}$.
- $1+\tan^{2}A=\sec^{2}A$; $1+\cot^{2}A=\csc^{2}A$.
- $a\sin\theta+b\cos\theta=R\sin(\theta+\alpha)$ with $R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ and $\tan\alpha=\dfrac{b}{a}$.
The $R$ form converts any question about the greatest or least value of $a\sin\theta+b\cos\theta$ into reading off $\pm R$.
Ba luật logarit chỉ áp dụng cho cùng một cơ số, và logarit của một tổng không bao giờ bằng tổng các logarit — đây là lỗi sai bị trừ điểm nặng nhất ở mảng này vì nó không phải lỗi tính toán mà là lỗi khái niệm.
Tuyến tính hoá quy luật luỹ thừa. Đây là dạng thí nghiệm quen thuộc của Paper 3, và mấu chốt là trục hoành khác nhau ở hai mô hình:
- $y=ax^{n}$ cho $\lg y=n\lg x+\lg a$ — vẽ $\lg y$ theo $\lg x$, hệ số góc là $n$;
- $y=ab^{x}$ cho $\lg y=(\lg b)x+\lg a$ — vẽ $\lg y$ theo chính $x$, hệ số góc là $\lg b$.
Cả hai đều cắt trục tung tại $\lg a$. Nhìn nhầm mô hình là vẽ nhầm trục, và đồ thị vẫn ra một đường gần thẳng nên không có gì báo sai.
Lượng giác nâng cao. Công thức nhân đôi $\sin 2A=2\sin A\cos A$ và ba dạng của $\cos 2A$; hai hằng đẳng thức Pythagore mở rộng $1+\tan^{2}A=\sec^{2}A$, $1+\cot^{2}A=\csc^{2}A$. Và quan trọng nhất là dạng $R$:
$$a\sin\theta+b\cos\theta=R\sin(\theta+\alpha),\qquad R=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\quad \tan\alpha=\frac{b}{a}$$Dạng $R$ biến mọi câu hỏi về giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của $a\sin\theta+b\cos\theta$ thành việc đọc ra $\pm R$ — không cần đạo hàm, không cần bảng biến thiên.
Giải phương trình $3^{2x}-10\left(3^{x}\right)+9=0$.
Nhận dạng. $3^{2x}=\left(3^{x}\right)^{2}$, nên đặt $y=3^{x}$ đưa về bậc hai:
$$y^{2}-10y+9=0\;\Longrightarrow\;(y-1)(y-9)=0\;\Longrightarrow\;y=1\ \text{hoặc}\ y=9$$Trả về biến ban đầu.
$$3^{x}=1\;\Longrightarrow\;x=0;\qquad 3^{x}=9\;\Longrightarrow\;x=2$$Kiểm điều kiện. Cả hai giá trị $y$ đều dương nên đều nhận được. Nếu bài ra $y=-2$ thì phải loại, vì $3^{x}>0$ với mọi $x$ — và chính bước loại đó mới là chỗ chấm điểm.
Sai lầm hay gặp: viết $3^{2x}=2\left(3^{x}\right)$. Số mũ nhân đôi thì cơ số được bình phương, không phải nhân đôi.
Cho $f(\theta)=5+3\sin\theta-4\cos\theta$ với $0^{\circ}\le\theta\le 360^{\circ}$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $f$, và giá trị $\theta$ tại đó $f$ đạt giá trị lớn nhất.
Bước 1 — gom hai hạng tử lượng giác thành một.
$$3\sin\theta-4\cos\theta=R\sin(\theta-\alpha),\qquad R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,\quad \tan\alpha=\frac{4}{3}$$$$\alpha=53.13^{\circ}\;\Longrightarrow\;f(\theta)=5+5\sin(\theta-53.13^{\circ})$$Bước 2 — đọc cực trị. Vì $\sin$ chạy trong $[-1,1]$:
$$f_{\max}=5+5=10,\qquad f_{\min}=5-5=0$$Bước 3 — tìm $\theta$. Lớn nhất khi $\sin(\theta-53.13^{\circ})=1$, tức $\theta-53.13^{\circ}=90^{\circ}$:
$$\theta=143.1^{\circ}$$Cả câu không dùng đến đạo hàm. Đây là lý do dạng $R$ đáng học kỹ: nó biến bài cực trị lượng giác thành bài đọc biên độ.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Pure Mathematics — Further Pure gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.