Mục lục bài họcĐang ở d02-b1
Modulus, polynomials and partial fractions
Modulus
$|a|=|b|$ is equivalent to $a=b$ or $a=-b$; equivalently, square both sides: $a^{2}=b^{2}$. Squaring is safer for inequalities, because it never introduces the sign errors that case-splitting does — but it is only valid when both sides are non-negative, which $|\cdot|$ guarantees.
Factor and remainder theorems
- $(x-a)$ is a factor of $f(x)$ $\iff$ $f(a)=0$;
- the remainder on dividing $f(x)$ by $(x-a)$ is $f(a)$;
- for a divisor $(bx-a)$ use $f\!\left(\dfrac{a}{b}\right)$.
Partial fractions
Three standard shapes, and the numerator degree is dictated by the denominator:
- $\dfrac{px+q}{(ax+b)(cx+d)}\equiv\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{B}{cx+d}$;
- $\dfrac{px^{2}+qx+r}{(ax+b)(cx+d)^{2}}\equiv\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{B}{cx+d}+\dfrac{C}{(cx+d)^{2}}$;
- $\dfrac{px^{2}+qx+r}{(ax+b)(x^{2}+c^{2})}\equiv\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+c^{2}}$.
Binomial for any index
$$(1+u)^{n}=1+nu+\frac{n(n-1)}{2!}u^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^{3}+\cdots,\qquad |u|<1$$Trị tuyệt đối. $|a|=|b|$ tương đương với $a=b$ hoặc $a=-b$; hoặc gọn hơn, bình phương hai vế: $a^{2}=b^{2}$. Với bất phương trình thì bình phương an toàn hơn hẳn cách chia trường hợp, vì nó không đẻ ra lỗi dấu — và nó hợp lệ đúng nhờ hai vế đều không âm, điều mà dấu trị tuyệt đối đảm bảo sẵn.
Định lý nhân tử và định lý số dư. $(x-a)$ là nhân tử của $f(x)$ khi và chỉ khi $f(a)=0$; số dư khi chia $f(x)$ cho $(x-a)$ chính là $f(a)$. Với ước có dạng $(bx-a)$ thì thế $x=\dfrac{a}{b}$ — chỗ này mất điểm nhiều, vì thí sinh quen thế nguyên con số trong ngoặc.
Phân thức đơn giản. Ba khuôn chuẩn, và bậc của tử do mẫu quyết định: mẫu bậc nhất thì tử là hằng số $A$; mẫu là tam thức bậc hai không phân tích được thì tử phải là $Bx+C$. Mẫu có nhân tử lặp $(cx+d)^{2}$ thì phải viết cả hai hạng tử $\dfrac{B}{cx+d}$ và $\dfrac{C}{(cx+d)^{2}}$ — bỏ một trong hai là hệ vô nghiệm.
Nhị thức với số mũ bất kỳ. Công thức $(1+u)^{n}$ mở rộng cho $n$ âm hoặc phân số, nhưng kèm điều kiện hội tụ $|u|<1$. Đề Cambridge hay hỏi thẳng “tìm tập giá trị của $x$ để khai triển hợp lệ”, và với $(1+2x)^{-3}$ thì điều kiện là $|2x|<1$, tức $|x|<\dfrac{1}{2}$ — không phải $|x|<1$.
Cho $f(x)=2x^{3}+ax^{2}-5x+b$. Biết $(x-1)$ là một nhân tử của $f(x)$, và số dư khi chia $f(x)$ cho $(x+2)$ bằng $-15$. Tìm $a$ và $b$.
Dịch hai dữ kiện thành hai phương trình.
$(x-1)$ là nhân tử $\Rightarrow f(1)=0$:
$$2+a-5+b=0\;\Longrightarrow\;a+b=3$$Chia cho $(x+2)$ dư $-15$ $\Rightarrow f(-2)=-15$. Chú ý dấu: ước là $x+2$ nên thế $x=-2$, không phải $x=2$.
$$2(-8)+a(4)-5(-2)+b=-15\;\Longrightarrow\;-16+4a+10+b=-15\;\Longrightarrow\;4a+b=-9$$Giải hệ. Trừ phương trình đầu khỏi phương trình sau:
$$3a=-12\;\Longrightarrow\;a=-4,\qquad b=3-(-4)=7$$Kiểm lại bằng cách khác: $f(x)=2x^{3}-4x^{2}-5x+7$, thử $f(1)=2-4-5+7=0$ — đúng là nhân tử.
Viết $\dfrac{5x+1}{(x-2)(x^{2}+3)}$ dưới dạng phân thức đơn giản.
Chọn đúng khuôn trước khi tính. Mẫu $x^{2}+3$ không phân tích được trên tập số thực, nên tử của nó phải là bậc nhất:
$$\frac{5x+1}{(x-2)(x^{2}+3)}\equiv\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^{2}+3}$$Nhân chéo:
$$5x+1\equiv A(x^{2}+3)+(Bx+C)(x-2)$$Thế giá trị đặc biệt. $x=2$ khử ngay hai ẩn:
$$11=A(7)\;\Longrightarrow\;A=\frac{11}{7}$$So hệ số. Hệ số $x^{2}$: $0=A+B\Rightarrow B=-\dfrac{11}{7}$. Hệ số tự do: $1=3A-2C\Rightarrow 1=\dfrac{33}{7}-2C\Rightarrow C=\dfrac{13}{7}$.
$$\frac{5x+1}{(x-2)(x^{2}+3)}=\frac{11}{7(x-2)}+\frac{-11x+13}{7(x^{2}+3)}$$Viết tử của phần bậc hai là hằng số $B$ thay vì $Bx+C$ thì hệ ba phương trình chỉ còn hai ẩn và sẽ mâu thuẫn — đó là cách bài này báo cho biết đã chọn sai khuôn.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Pure Mathematics — Further Pure gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.