Mục lục bài họcĐang ở d03-b2
Lines in three dimensions
Vector equation of a line
$$\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\mathbf{d}$$$\mathbf{a}$ is the position vector of any one point on the line and $\mathbf{d}$ is any direction vector. Two very different-looking equations can therefore describe the same line.
Through two points $A$ and $B$: take $\mathbf{a}=\overrightarrow{OA}$ and $\mathbf{d}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$.
Relationship between two lines
In three dimensions there are three possibilities, tested in this order:
- Parallel — one direction vector is a scalar multiple of the other;
- Intersecting — not parallel, and the three component equations have a consistent solution $(s,t)$;
- Skew — not parallel, and the three equations are inconsistent.
Two equations fix $s$ and $t$; the third equation is the test. Never skip it.
Angle and perpendicular distance
The acute angle between two lines comes from their direction vectors, using $|\mathbf{d}_{1}\cdot\mathbf{d}_{2}|$. The point $Q$ on a line closest to a given point $P$ satisfies $\overrightarrow{PQ}\cdot\mathbf{d}=0$.
Phương trình vectơ của đường thẳng. $\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\mathbf{d}$, trong đó $\mathbf{a}$ là vectơ vị trí của một điểm bất kỳ trên đường thẳng và $\mathbf{d}$ là một vectơ chỉ phương bất kỳ. Hệ quả thực dụng: hai phương trình trông khác hẳn nhau vẫn có thể là cùng một đường thẳng, nên đừng kết luận “khác nhau” chỉ vì viết khác.
Ba khả năng giữa hai đường thẳng, kiểm theo đúng thứ tự này:
- Song song — một vectơ chỉ phương là bội của vectơ kia;
- Cắt nhau — không song song, và ba phương trình thành phần có nghiệm $(s,t)$ nhất quán;
- Chéo nhau — không song song, và ba phương trình mâu thuẫn.
Điểm mấu chốt của cả mảng: hai phương trình dùng để tìm $s$ và $t$, phương trình thứ ba dùng để KIỂM. Bỏ bước kiểm là bỏ luôn khả năng phát hiện hai đường chéo nhau — và trong không gian ba chiều, chéo nhau mới là trường hợp phổ biến, cắt nhau mới là ngoại lệ.
Góc và khoảng cách. Góc nhọn giữa hai đường thẳng tính từ hai vectơ chỉ phương, lấy $\left|\mathbf{d}_{1}\cdot\mathbf{d}_{2}\right|$ ở tử để đáp số luôn nhọn. Điểm $Q$ trên đường thẳng gần điểm $P$ nhất thoả $\overrightarrow{PQ}\cdot\mathbf{d}=0$ — một phương trình, một ẩn tham số.
Cho $l_{1}:\ \mathbf{r}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+t(2\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k})$ và $l_{2}:\ \mathbf{r}=2\mathbf{i}+3\mathbf{k}+s(\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k})$. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Bước 1 — song song? Hai vectơ chỉ phương $(2,-1,1)$ và $(1,1,-1)$ không tỉ lệ (thành phần đầu gợi hệ số $2$, nhưng $-1\ne 2(1)$). Không song song.
Bước 2 — cân bằng ba thành phần.
$$\mathbf{i}:\ 1+2t=2+s\qquad \mathbf{j}:\ 1-t=s\qquad \mathbf{k}:\ t=3-s$$Bước 3 — giải hai, kiểm một. Từ phương trình $\mathbf{j}$: $s=1-t$. Thế vào phương trình $\mathbf{k}$:
$$t=3-(1-t)=2+t\;\Longrightarrow\;0=2$$Mâu thuẫn. Vậy hệ vô nghiệm, hai đường thẳng chéo nhau.
Chú ý cách trình bày: chọn hai phương trình dễ nhất để rút ẩn (ở đây là $\mathbf{j}$ và $\mathbf{k}$, vì mỗi phương trình chỉ có hệ số $1$), rồi mới thế vào phương trình còn lại. Chọn nhầm cặp thì vẫn ra đúng kết luận nhưng mất thêm vài dòng đại số.
Cho đường thẳng $l:\ \mathbf{r}=(\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k})+s(2\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k})$. Tìm điểm $Q$ trên $l$ sao cho $OQ$ vuông góc với $l$, và tính $OQ$.
Bước 1 — viết $Q$ theo tham số. Mọi điểm trên $l$ có dạng
$$\overrightarrow{OQ}=(1+2s)\mathbf{i}+(2-s)\mathbf{j}+(3+s)\mathbf{k}$$Bước 2 — áp điều kiện vuông góc. $OQ$ vuông góc với $l$ nghĩa là $\overrightarrow{OQ}\cdot\mathbf{d}=0$ với $\mathbf{d}=(2,-1,1)$:
$$2(1+2s)-(2-s)+(3+s)=0$$$$2+4s-2+s+3+s=0\;\Longrightarrow\;3+6s=0\;\Longrightarrow\;s=-\frac{1}{2}$$Bước 3 — thay lại.
$$\overrightarrow{OQ}=(1-1)\mathbf{i}+\left(2+\tfrac{1}{2}\right)\mathbf{j}+\left(3-\tfrac{1}{2}\right)\mathbf{k}=\tfrac{5}{2}\mathbf{j}+\tfrac{5}{2}\mathbf{k}$$$$OQ=\sqrt{0+\tfrac{25}{4}+\tfrac{25}{4}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$$Cả bài chỉ có một phương trình một ẩn. Nhiều thí sinh chọn cách tối thiểu hoá $|OQ|^{2}$ bằng đạo hàm — cũng đúng, nhưng dài gấp đôi và dễ sai dấu.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Vectors and Differential Equations gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.