Mục lục bài họcĐang ở d04-b3
Loci in the Argand diagram
Reading a locus
Every standard locus is a statement about distance or direction, once $|z-a|$ is read as “distance from the point $a$”.
- $|z-a|=k$ — a circle, centre $a$, radius $k$;
- $|z-a|=|z-b|$ — the perpendicular bisector of the segment joining $a$ and $b$;
- $\arg(z-a)=\theta$ — a half-line starting at $a$ (excluding $a$) at angle $\theta$ to the positive real direction;
- $|z-a|\le k$ — the closed disc.
Getting the sign right
The point in the statement is always what makes the bracket zero. So $|z-2+3i|$ is $|z-(2-3i)|$, centred at $2-3i$, not $2+3i$.
Greatest and least modulus
For $z$ on a circle of centre $a$ and radius $k$, the greatest and least values of $|z|$ are $|a|+k$ and $\big||a|-k\big|$ — the extremes lie on the line through the origin and the centre.
Đọc quỹ tích. Mọi quỹ tích chuẩn đều là một câu về khoảng cách hoặc hướng, một khi đã đọc $|z-a|$ thành “khoảng cách từ điểm $a$”:
- $|z-a|=k$ là đường tròn tâm $a$ bán kính $k$;
- $|z-a|=|z-b|$ là đường trung trực của đoạn nối $a$ và $b$ — cách đều hai điểm;
- $\arg(z-a)=\theta$ là nửa đường thẳng xuất phát từ $a$ (không lấy chính điểm $a$) theo hướng hợp góc $\theta$ với chiều dương trục thực;
- $|z-a|\le k$ là hình tròn kể cả biên.
Lấy đúng dấu. Điểm mốc luôn là giá trị làm cho biểu thức trong ngoặc bằng không. Nên $|z-2+3i|$ chính là $|z-(2-3i)|$, tâm ở $2-3i$ chứ không phải $2+3i$. Đây là chỗ đề chỉ đổi một dấu mà đổi hẳn hình vẽ, và nó xuất hiện gần như mỗi kỳ.
Chú ý riêng cho nửa đường thẳng. $\arg(z-a)=\theta$ là nửa đường thẳng, không phải cả đường thẳng: phần kéo dài về phía ngược lại có acgumen $\theta-\pi$, khác hẳn. Vẽ cả đường thẳng là mất điểm dù hình còn lại đúng.
Mô-đun lớn nhất và nhỏ nhất. Với $z$ chạy trên đường tròn tâm $a$ bán kính $k$, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $|z|$ là $|a|+k$ và $\big||a|-k\big|$ — hai điểm cực trị nằm trên đường thẳng nối gốc toạ độ với tâm. Không cần tính toán gì thêm.
Cho $z=x+iy$. Chứng minh quỹ tích $|z-4|=|z-2i|$ là một đường thẳng, và tìm phương trình Descartes của nó.
Bước 1 — thay $z=x+iy$ và bình phương hai vế.
$$|(x-4)+iy|=|x+i(y-2)|$$$$(x-4)^{2}+y^{2}=x^{2}+(y-2)^{2}$$Bước 2 — khai triển; các số hạng bậc hai triệt tiêu.
$$x^{2}-8x+16+y^{2}=x^{2}+y^{2}-4y+4$$$$-8x+16=-4y+4\;\Longrightarrow\;4y=8x-12\;\Longrightarrow\;y=2x-3$$Vì cả $x^{2}$ lẫn $y^{2}$ đều mất, phương trình còn lại là bậc nhất — đó chính là lý do quỹ tích là đường thẳng, chứ không phải vì trông giống đường thẳng.
Bước 3 — đối chiếu với hình học. Quỹ tích các điểm cách đều $4$ (tức $(4,0)$) và $2i$ (tức $(0,2)$) là đường trung trực của đoạn nối chúng. Trung điểm là $(2,1)$, và thay vào $y=2x-3$ thấy $1=4-3$ — khớp. Đoạn nối hai điểm có hệ số góc $\dfrac{2-0}{0-4}=-\dfrac{1}{2}$, còn đường vừa tìm có hệ số góc $2$, và $2\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1$ — vuông góc, đúng như phải thế.
Điểm $z$ chạy trên quỹ tích $|z-2-i|=2$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $|z|$, để dạng chính xác.
Bước 1 — đọc quỹ tích. $|z-(2+i)|=2$ là đường tròn tâm $a=2+i$, bán kính $k=2$.
Bước 2 — khoảng cách từ gốc tới tâm.
$$|a|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}\approx 2.236$$So sánh ngay: $|a|>k$, nên gốc toạ độ nằm ngoài đường tròn. Bước so sánh này quyết định dấu ở công thức dưới, nên làm trước chứ đừng làm sau.
Bước 3 — đọc cực trị. $|z|$ là khoảng cách từ gốc tới điểm chạy trên đường tròn. Khoảng cách ấy lớn nhất ở điểm nằm trên tia từ gốc qua tâm, phía xa gốc; nhỏ nhất ở điểm phía gần gốc:
$$|z|_{\max}=|a|+k=\sqrt{5}+2$$$$|z|_{\min}=\big||a|-k\big|=\sqrt{5}-2$$Nếu ngược lại, $|a|
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Complex Numbers gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.