Mục lục bài họcĐang ở d06-b1
Representation and measures of data
Histograms with unequal classes
The area of each bar represents the frequency, so the vertical axis is frequency density:
$$\text{frequency density}=\frac{\text{frequency}}{\text{class width}}$$Plotting frequency itself against unequal widths distorts the picture — that is the whole reason frequency density exists.
Cumulative frequency
Plot cumulative frequency against the upper class boundary, never the midpoint. From the curve read off the median ($\tfrac{1}{2}n$), the quartiles ($\tfrac{1}{4}n$ and $\tfrac{3}{4}n$), and hence the interquartile range.
Mean and standard deviation
$$\bar x=\frac{\sum fx}{\sum f},\qquad \text{Var}=\frac{\sum fx^{2}}{\sum f}-\bar x^{2}$$For grouped data, $x$ is the class midpoint, so mean and variance are estimates: the raw values inside each class are no longer known.
Coding
If $y=ax+b$ then $\bar y=a\bar x+b$ but $\sigma_{y}=|a|\sigma_{x}$ — the shift $b$ moves the data without spreading it, so it does not affect the standard deviation.
Biểu đồ tần suất với các lớp không đều nhau. Diện tích mỗi cột biểu diễn tần số, nên trục tung là mật độ tần số:
$$\text{mật độ tần số}=\frac{\text{tần số}}{\text{bề rộng lớp}}$$Vẽ thẳng tần số lên trục tung khi các lớp rộng khác nhau là bóp méo hình ảnh — lớp rộng gấp ba sẽ trông cao ngang lớp hẹp dù nó chứa số liệu thưa hơn ba lần. Đó chính là lý do khái niệm mật độ tần số tồn tại.
Tần số tích luỹ. Chấm điểm tại biên trên của mỗi lớp, tuyệt đối không phải tại trung điểm. Từ đường cong đọc ra trung vị (ở mức $\tfrac{1}{2}n$), hai tứ phân vị (ở $\tfrac{1}{4}n$ và $\tfrac{3}{4}n$), và khoảng tứ phân vị.
Trung bình và độ lệch chuẩn.
$$\bar x=\frac{\sum fx}{\sum f},\qquad \text{Var}=\frac{\sum fx^{2}}{\sum f}-\bar x^{2}$$Với dữ liệu đã nhóm, $x$ là trung điểm lớp, nên trung bình và phương sai chỉ là ước lượng: các giá trị gốc bên trong mỗi lớp không còn nữa. Đề Cambridge hay hỏi thẳng “why is this only an estimate?” và đó là một điểm cho không.
Phép mã hoá. Nếu $y=ax+b$ thì $\bar y=a\bar x+b$ nhưng $\sigma_{y}=|a|\sigma_{x}$ — hằng số cộng thêm dịch cả tập số liệu mà không làm nó tản ra, nên nó không đụng tới độ lệch chuẩn. Nhớ được điều đó là không bao giờ cộng nhầm $b$ vào độ lệch chuẩn.
Thời gian $t$ phút của $80$ người được ghi lại như sau. Ước lượng trung bình và độ lệch chuẩn.
| $t$ | $0\le t<10$ | $10\le t<20$ | $20\le t<40$ | $40\le t<70$ |
|---|---|---|---|---|
| Tần số | $12$ | $28$ | $26$ | $14$ |
Bước 1 — lấy trung điểm mỗi lớp. Đây chính là bước biến đáp số thành ước lượng: ta giả định mọi giá trị trong một lớp đều nằm ở giữa lớp.
| Trung điểm $x$ | $5$ | $15$ | $30$ | $55$ |
|---|---|---|---|---|
| $f$ | $12$ | $28$ | $26$ | $14$ |
Bước 2 — hai tổng.
$$\sum fx=12(5)+28(15)+26(30)+14(55)=60+420+780+770=2030$$$$\sum fx^{2}=12(25)+28(225)+26(900)+14(3025)=300+6300+23400+42350=72\,350$$Bước 3 — trung bình và phương sai.
$$\bar t=\frac{2030}{80}=25.4\ \text{phút}$$$$\text{Var}=\frac{72\,350}{80}-25.375^{2}=904.375-643.891=260.484$$$$\sigma=\sqrt{260.484}=16.1\ \text{phút}$$Chú ý giữ nguyên $25.375$ khi bình phương, chỉ làm tròn ở dòng cuối. Làm tròn $\bar t$ thành $25.4$ rồi mới bình phương sẽ đẩy sai số vào chữ số thứ ba của $\sigma$ — và Paper 5 chấm tới ba chữ số có nghĩa.
Một tập số liệu $x$ có trung bình $8$ và độ lệch chuẩn $3$. Đặt $y=2x+5$. Tìm trung bình và độ lệch chuẩn của $y$, và giải thích vì sao hai đại lượng chịu ảnh hưởng khác nhau.
Trung bình: mọi phép biến đổi bậc nhất đều truyền thẳng qua trung bình:
$$\bar y=2(8)+5=21$$Độ lệch chuẩn: chỉ hệ số nhân có tác dụng:
$$\sigma_{y}=|2|(3)=6$$Vì sao khác nhau. Cộng thêm $5$ là dịch chuyển toàn bộ tập số liệu sang phải năm đơn vị: mọi khoảng cách giữa các giá trị giữ nguyên, nên độ tản không đổi. Nhân với $2$ là kéo giãn: mọi khoảng cách tăng gấp đôi, nên độ tản cũng gấp đôi.
Nói ngắn: trung bình đo vị trí nên nó thấy cả hai phép; độ lệch chuẩn đo độ tản nên nó chỉ thấy phép giãn. Ai viết $\sigma_{y}=2(3)+5=11$ là đã cho hằng số cộng một vai trò mà nó không có.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Probability & Statistics 1 gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.