Mục lục bài họcĐang ở d04-b2
Modulus, argument and polar form
Modulus and argument
For $z=x+iy$: $|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, and $\arg z$ is the angle from the positive real axis, measured anticlockwise, taken in the principal range $-\pi<\arg z\le\pi$.
A calculator returns $\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$, which lies in $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ and therefore only ever names a first- or fourth-quadrant angle. Always plot the point first and adjust.
Polar form
$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta),\qquad r=|z|,\ \theta=\arg z$$- $|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|$ and $\arg(z_{1}z_{2})=\arg z_{1}+\arg z_{2}$;
- $\left|\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\dfrac{|z_{1}|}{|z_{2}|}$ and $\arg\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\arg z_{1}-\arg z_{2}$;
- hence $|z^{n}|=|z|^{n}$ and $\arg\left(z^{n}\right)=n\arg z$.
Geometrically, multiplying by $z_{2}$ rotates by $\arg z_{2}$ and scales by $|z_{2}|$.
Mô-đun và acgumen. Với $z=x+iy$ thì $|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, còn $\arg z$ là góc kể từ nửa trục thực dương, đo ngược chiều kim đồng hồ, lấy trong khoảng chính $-\pi<\arg z\le\pi$.
Điểm phải nhớ nhất của cả bài: máy tính trả về $\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$, mà hàm này chỉ nhận giá trị trong $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ — tức nó chỉ gọi tên được góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Với $z$ nằm ở góc phần tư thứ hai hoặc thứ ba, máy trả về một góc sai lệch đúng $\pi$. Cách chữa duy nhất đáng tin: chấm điểm lên mặt phẳng Argand trước, rồi mới bấm máy, rồi đối chiếu.
Dạng lượng giác. $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ với $r=|z|$, $\theta=\arg z$. Ba luật:
- nhân thì nhân mô-đun, cộng acgumen;
- chia thì chia mô-đun, trừ acgumen;
- do đó $|z^{n}|=|z|^{n}$ và $\arg\left(z^{n}\right)=n\arg z$.
Ý nghĩa hình học: nhân với $z_{2}$ là quay một góc $\arg z_{2}$ rồi giãn hệ số $|z_{2}|$. Nhìn được như thế thì các câu “tìm $n$ nhỏ nhất để $z^{n}$ là số thực” giải được trong đầu: số thực nằm trên trục thực, tức acgumen phải là bội của $\pi$.
Viết $z=-1+i\sqrt{3}$ dưới dạng lượng giác, với acgumen trong khoảng chính.
Bước 1 — mô-đun.
$$|z|=\sqrt{(-1)^{2}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{1+3}=2$$Bước 2 — chấm điểm trước khi bấm máy. Phần thực âm, phần ảo dương, nên $z$ nằm ở góc phần tư thứ hai. Acgumen phải nằm giữa $\dfrac{\pi}{2}$ và $\pi$.
Bước 3 — góc tham chiếu.
$$\arctan\left|\frac{\sqrt{3}}{-1}\right|=\arctan\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}$$Ở góc phần tư thứ hai, acgumen là $\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$.
$$z=2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$$Nếu bấm thẳng $\arctan\left(\dfrac{\sqrt{3}}{-1}\right)$ thì máy trả về $-\dfrac{\pi}{3}$ — một góc ở góc phần tư thứ tư, tức lệch đúng $\pi$ so với đáp số. Con số đó trông hoàn toàn hợp lệ, nên không có cách nào phát hiện ngoài việc đã chấm điểm từ đầu.
Cho $z=1+i$. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $z^{n}$ là số thực, và tính giá trị $z^{n}$ đó.
Bước 1 — sang dạng lượng giác. $|z|=\sqrt{2}$, và $z$ ở góc phần tư thứ nhất với $\arctan 1=\dfrac{\pi}{4}$, nên $\arg z=\dfrac{\pi}{4}$.
Bước 2 — dịch điều kiện “là số thực”. Số thực nằm trên trục thực, tức acgumen là bội của $\pi$ (kể cả $0$):
$$\arg\left(z^{n}\right)=n\cdot\frac{\pi}{4}=k\pi\;\Longrightarrow\;n=4k$$Số nguyên dương nhỏ nhất là $n=4$.
Bước 3 — tính giá trị.
$$z^{4}=\left(\sqrt{2}\right)^{4}\left(\cos\pi+i\sin\pi\right)=4(-1)=-4$$Kiểm bằng đại số: $(1+i)^{2}=1+2i-1=2i$, nên $(1+i)^{4}=(2i)^{2}=-4$. Khớp.
Chú ý “số thực” bao gồm cả số thực âm. Ai chỉ nhận acgumen bằng $0$ sẽ trả lời $n=8$ — đúng là số thực, nhưng không phải số nhỏ nhất.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Complex Numbers gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.