Mục lục bài họcĐang ở d01-b1
Quadratics, functions and transformations
Completed square form
Any quadratic can be written as $a(x+p)^{2}+q$. This form is not an alternative to the factorised form — it answers different questions:
- vertex is at $(-p,\,q)$, line of symmetry $x=-p$;
- if $a>0$ the least value of the expression is $q$; if $a<0$ the greatest value is $q$;
- it produces the inverse function directly, because $x$ appears only once.
Discriminant
For $ax^{2}+bx+c=0$ write $\Delta=b^{2}-4ac$.
- $\Delta>0$: two distinct real roots;
- $\Delta=0$: a repeated root — the curve touches the $x$-axis;
- $\Delta<0$: no real roots.
A line is a tangent to a curve exactly when substituting the line into the curve gives $\Delta=0$.
Functions
A function needs a rule and a domain. The range is the set of outputs on that domain. $f^{-1}$ exists only when $f$ is one-one, and then the domain of $f^{-1}$ is the range of $f$.
Transformations of $y=f(x)$
- $f(x)+a$: translate $a$ units in the $y$-direction;
- $f(x+a)$: translate $-a$ units in the $x$-direction;
- $af(x)$: stretch factor $a$ parallel to the $y$-axis;
- $f(ax)$: stretch factor $\dfrac{1}{a}$ parallel to the $x$-axis.
Dạng chính phương hoàn chỉnh. Mọi tam thức bậc hai đều viết được thành $a(x+p)^{2}+q$. Dạng này không phải “cách khác” của dạng phân tích thành nhân tử — nó trả lời câu hỏi khác:
- đỉnh nằm ở $(-p,\,q)$, trục đối xứng $x=-p$;
- $a>0$ thì $q$ là giá trị nhỏ nhất; $a<0$ thì $q$ là giá trị lớn nhất;
- nó cho ra hàm ngược ngay lập tức, vì $x$ chỉ xuất hiện một lần.
Biệt thức. Với $ax^{2}+bx+c=0$, đặt $\Delta=b^{2}-4ac$: $\Delta>0$ hai nghiệm phân biệt; $\Delta=0$ nghiệm kép — đồ thị tiếp xúc trục hoành; $\Delta<0$ vô nghiệm thực.
Một đường thẳng tiếp xúc với một đường cong đúng khi thế đường thẳng vào đường cong được phương trình có $\Delta=0$. Đây là câu hỏi Cambridge ra đi ra lại, và nó là cách duy nhất giải bài “tìm $k$ để đường thẳng tiếp xúc” mà không cần đạo hàm.
Hàm số. Một hàm gồm quy tắc và miền xác định. Tập giá trị là tập các đầu ra trên đúng miền đó. Hàm ngược $f^{-1}$ chỉ tồn tại khi $f$ là đơn ánh, và khi đó miền xác định của $f^{-1}$ chính là tập giá trị của $f$. Giữ nguyên tiếng Anh các thuật ngữ domain, range, one-one, inverse — đề thi viết đúng những chữ đó.
Bốn phép biến đổi. $f(x)+a$ tịnh tiến $a$ theo trục tung; $f(x+a)$ tịnh tiến $-a$ theo trục hoành; $af(x)$ co giãn hệ số $a$ song song trục tung; $f(ax)$ co giãn hệ số $\dfrac{1}{a}$ song song trục hoành. Hai phép cuối là chỗ mất điểm nhiều nhất: hệ số nghịch đảo chỉ xảy ra với trục hoành.
Hàm $f$ xác định bởi $f(x)=2x^{2}-12x+23$ với $x\ge 4$. Tìm tập giá trị của $f$, và giải thích vì sao $f^{-1}$ tồn tại.
Bước 1 — hoàn thành bình phương.
$$2x^{2}-12x+23=2(x^{2}-6x)+23=2\big[(x-3)^{2}-9\big]+23=2(x-3)^{2}+5$$Bước 2 — đối chiếu đỉnh với miền xác định. Đỉnh ở $x=3$. Nhưng miền là $x\ge 4$, tức đỉnh nằm ngoài miền. Trên $x\ge 3$ hàm đồng biến, nên trên $x\ge 4$ nó cũng đồng biến, và giá trị nhỏ nhất đạt tại đầu mút $x=4$:
$$f(4)=2(4-3)^{2}+5=7$$Vậy tập giá trị là $f(x)\ge 7$.
Bước 3 — vì sao có hàm ngược. Trên $x\ge 4$ hàm đơn điệu tăng nên là đơn ánh, do đó $f^{-1}$ tồn tại, với miền xác định $x\ge 7$.
Chú ý: nếu đề cho $x\ge 2$ thì đỉnh $x=3$ nằm trong miền, tập giá trị lại là $f(x)\ge 5$ và $f^{-1}$ không tồn tại. Cùng một công thức, đổi miền là đổi cả hai câu trả lời.
Đường thẳng $y=mx+2$ tiếp xúc với đường cong $y=x^{2}-3x+6$. Tìm hai giá trị có thể có của $m$.
Tiếp xúc nghĩa là hệ có nghiệm kép. Thế đường thẳng vào đường cong:
$$mx+2=x^{2}-3x+6\;\Longrightarrow\;x^{2}-(3+m)x+4=0$$Điều kiện tiếp xúc là $\Delta=0$:
$$(3+m)^{2}-16=0\;\Longrightarrow\;(3+m)^{2}=16\;\Longrightarrow\;3+m=\pm 4$$$$m=1\quad\text{hoặc}\quad m=-7$$Hai giá trị này ứng với hai tiếp tuyến kẻ từ điểm $(0,2)$ tới parabol — một tiếp tuyến bên trái đỉnh, một bên phải. Ra đúng một giá trị $m$ là dấu hiệu đã làm mất dấu $\pm$ khi khai căn.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Pure Mathematics 1 gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.