Mục lục bài họcĐang ở d03-b3
First-order differential equations
Separating the variables
If $\dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ then
$$\int\frac{1}{g(y)}\,dy=\int f(x)\,dx$$One arbitrary constant, added once, on either side. A boundary condition turns the general solution into a particular solution.
Forming a differential equation
- “rate of change of $y$ is proportional to $y$” $\Rightarrow$ $\dfrac{dy}{dt}=ky$;
- “decreases at a rate proportional to $y$” $\Rightarrow$ $\dfrac{dy}{dt}=-ky$ with $k>0$;
- “proportional to the difference between $\theta$ and the surroundings $\theta_{0}$” $\Rightarrow$ $\dfrac{d\theta}{dt}=-k\left(\theta-\theta_{0}\right)$;
- “growth limited by a ceiling $N$” $\Rightarrow$ $\dfrac{dP}{dt}=kP(N-P)$, which needs partial fractions.
Long-term behaviour
As $t\to\infty$, $e^{-kt}\to 0$ for $k>0$. Reading the limit off the solution is usually worth a mark on its own, and it also checks the model: a cooling body must tend to room temperature, not to zero.
Tách biến. Nếu $\dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ thì đưa mỗi biến về một vế rồi lấy tích phân hai vế:
$$\int\frac{1}{g(y)}\,dy=\int f(x)\,dx$$Chỉ một hằng số tuỳ ý, cộng một lần, ở vế nào cũng được. Điều kiện đầu bài biến nghiệm tổng quát thành nghiệm riêng, và bước đó nên làm ngay — càng để lâu, hằng số càng bị kéo qua nhiều phép biến đổi và càng dễ sai.
Dựng phương trình từ lời văn. Đây mới là chỗ chấm điểm, vì giải thì máy móc:
- “tốc độ biến thiên tỉ lệ với chính nó” cho $\dfrac{dy}{dt}=ky$;
- “giảm với tốc độ tỉ lệ với nó” cho $\dfrac{dy}{dt}=-ky$ với $k>0$ — dấu trừ nằm trong phương trình, đừng để nó chui vào $k$;
- “tỉ lệ với chênh lệch giữa $\theta$ và môi trường $\theta_{0}$” cho $\dfrac{d\theta}{dt}=-k\left(\theta-\theta_{0}\right)$;
- “tăng trưởng bị chặn bởi trần $N$” cho $\dfrac{dP}{dt}=kP(N-P)$ — dạng này bắt buộc phải qua phân thức đơn giản.
Hành vi dài hạn. Khi $t\to\infty$ thì $e^{-kt}\to 0$ với $k>0$. Đọc giới hạn từ nghiệm thường được tính một điểm riêng, và nó còn là phép kiểm mô hình: vật nguội phải tiến về nhiệt độ phòng, không phải về $0$.
Một quần thể $x$ (nghìn cá thể) thoả $\dfrac{dx}{dt}=0.2\,x(5-x)$, với $x=1$ khi $t=0$. Tìm $x$ theo $t$, và nêu giá trị giới hạn khi $t\to\infty$.
Bước 1 — tách biến.
$$\int\frac{1}{x(5-x)}\,dx=\int 0.2\,dt$$Bước 2 — phân thức đơn giản. Đặt $\dfrac{1}{x(5-x)}\equiv\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{5-x}$, được $1\equiv A(5-x)+Bx$. Thế $x=0$ cho $A=\dfrac{1}{5}$; thế $x=5$ cho $B=\dfrac{1}{5}$.
$$\frac{1}{5}\int\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{5-x}\right)dx=\int 0.2\,dt$$$$\frac{1}{5}\Big[\ln x-\ln(5-x)\Big]=0.2t+c$$Chú ý dấu trừ ở hạng tử thứ hai: nguyên hàm của $\dfrac{1}{5-x}$ là $-\ln(5-x)$ vì đạo hàm bên trong bằng $-1$.
Bước 3 — dùng điều kiện đầu ngay. Nhân hai vế với $5$:
$$\ln\frac{x}{5-x}=t+C$$Tại $t=0$, $x=1$: $\ln\dfrac{1}{4}=C$. Vậy
$$\frac{x}{5-x}=\frac{1}{4}e^{t}\;\Longrightarrow\;4x=(5-x)e^{t}\;\Longrightarrow\;x=\frac{5e^{t}}{4+e^{t}}$$Bước 4 — giới hạn. Chia tử và mẫu cho $e^{t}$: $x=\dfrac{5}{4e^{-t}+1}\to 5$ khi $t\to\infty$.
Giới hạn $5$ khớp với trạng thái dừng đọc thẳng từ phương trình ban đầu — đó là phép kiểm cuối, và nó bắt được mọi lỗi dấu ở bước tích phân.
Một vật ở $80^{\circ}$C được đặt trong phòng $20^{\circ}$C. Sau $5$ phút nhiệt độ vật còn $65^{\circ}$C. Tính nhiệt độ vật sau $15$ phút.
Bước 1 — dựng phương trình. Tốc độ nguội tỉ lệ với chênh lệch so với môi trường:
$$\frac{d\theta}{dt}=-k(\theta-20),\qquad k>0$$Bước 2 — tách biến và giải.
$$\int\frac{d\theta}{\theta-20}=-\int k\,dt\;\Longrightarrow\;\ln(\theta-20)=-kt+c$$$$\theta-20=Ae^{-kt}$$Bước 3 — hai điều kiện, hai hằng số. Tại $t=0$, $\theta=80$: $A=60$. Tại $t=5$, $\theta=65$:
$$45=60e^{-5k}\;\Longrightarrow\;e^{-5k}=0.75$$Bước 4 — dùng luỹ thừa thay vì tính $k$. Sau $15$ phút:
$$\theta-20=60e^{-15k}=60\left(e^{-5k}\right)^{3}=60(0.75)^{3}=60(0.421875)=25.3$$$$\theta=45.3^{\circ}\text{C}$$Không cần tính $k$ một lần nào. Nhận ra $e^{-15k}=\left(e^{-5k}\right)^{3}$ vừa nhanh hơn vừa tránh được sai số làm tròn — mà sai số ấy là thứ hay làm lệch chữ số thập phân cuối cùng của đáp án.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Vectors and Differential Equations gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.