Mục lục bài họcĐang ở d06-b2
Permutations, combinations and probability
Counting
- Arrangements of $n$ distinct objects: $n!$;
- arrangements of $n$ objects with repeats: divide by the factorial of each repeat count;
- ordered selections of $r$ from $n$: $^{n}P_{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}$;
- unordered selections: $^{n}C_{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$.
The single question that decides which formula to use: does the order matter? A committee is unordered; a queue, a code, a set of prizes for 1st and 2nd place are ordered.
Probability rules
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\quad\Longrightarrow\quad P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$$Independent versus mutually exclusive
- Independent: $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ — one happening tells you nothing about the other;
- Mutually exclusive: $P(A\cap B)=0$ — they cannot both happen.
These are not the same idea, and two events with non-zero probabilities can never be both.
Đếm. Bốn công thức, nhưng chỉ một câu hỏi quyết định dùng công thức nào: thứ tự có quan trọng không? Ban đại diện là không thứ tự (dùng tổ hợp); hàng người xếp, mật khẩu, giải nhất và giải nhì là có thứ tự (dùng chỉnh hợp). Hỏi câu ấy trước khi cầm bút là bỏ được nửa số lỗi của mảng này.
- sắp $n$ vật phân biệt: $n!$;
- sắp $n$ vật có lặp: chia cho giai thừa của từng số lần lặp — với BANANA là $\dfrac{6!}{3!\,2!}$;
- chọn có thứ tự $r$ trong $n$: $^{n}P_{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}$;
- chọn không thứ tự: $^{n}C_{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$.
Luật xác suất.
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$Công thức xác suất có điều kiện đọc theo nghĩa hình học rất dễ nhớ: “biết $B$ đã xảy ra” nghĩa là thu nhỏ không gian mẫu về riêng $B$, nên mẫu số đổi từ $1$ thành $P(B)$.
Độc lập khác với loại trừ nhau. Hai khái niệm này bị lẫn thường xuyên nhưng chúng gần như trái ngược:
- độc lập: $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ — biết cái này xảy ra không nói gì về cái kia;
- loại trừ nhau: $P(A\cap B)=0$ — không thể cùng xảy ra, tức biết cái này xảy ra thì chắc chắn cái kia không.
Hệ quả đáng nhớ: hai biến cố có xác suất khác $0$ không bao giờ vừa độc lập vừa loại trừ nhau.
Chọn một ban đại diện gồm $4$ người từ $6$ nam và $5$ nữ, sao cho ban có đúng $2$ nữ. Hỏi có bao nhiêu cách?
Bước 1 — hỏi câu quyết định. Ban đại diện không phân biệt vai trò, nên thứ tự không quan trọng: dùng tổ hợp.
Bước 2 — tách theo giới rồi nhân. Đúng $2$ nữ nghĩa là $2$ nữ và $2$ nam:
$$\binom{5}{2}\times\binom{6}{2}=10\times 15=150$$Vì sao nhân chứ không cộng. Mỗi cách chọn nữ ghép được với mọi cách chọn nam, nên tổng số là tích. Cộng chỉ dùng khi hai trường hợp loại trừ nhau — chẳng hạn nếu đề hỏi “ít nhất $2$ nữ” thì phải cộng ba trường hợp $2$ nữ, $3$ nữ, $4$ nữ.
Kiểm hợp lý: tổng số cách chọn $4$ người bất kỳ là $\dbinom{11}{4}=330$, nên đáp số phải nhỏ hơn $330$. Được $150$ — chiếm khoảng $45\%$, hợp lý vì “đúng hai nữ” là trường hợp cân bằng nhất.
Một nhà máy có hai dây chuyền: $A$ làm $60\%$ sản lượng, $B$ làm $40\%$. Tỉ lệ phế phẩm của $A$ là $3\%$, của $B$ là $5\%$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm và thấy nó bị lỗi. Tính xác suất nó do dây chuyền $B$ làm ra.
Bước 1 — xác suất của từng đường. Nhân dọc theo nhánh:
$$P(B\cap\text{lỗi})=0.4(0.05)=0.020$$$$P(A\cap\text{lỗi})=0.6(0.03)=0.018$$Bước 2 — xác suất toàn phần. Cộng mọi đường dẫn tới “lỗi”:
$$P(\text{lỗi})=0.018+0.020=0.038$$Bước 3 — đảo chiều điều kiện.
$$P(B\mid\text{lỗi})=\frac{P(B\cap\text{lỗi})}{P(\text{lỗi})}=\frac{0.020}{0.038}=\frac{10}{19}=0.526$$Chú ý câu hỏi đảo chiều so với dữ kiện: đề cho “nếu là $B$ thì xác suất lỗi”, còn hỏi “nếu lỗi thì xác suất là $B$”. Hai con số hoàn toàn khác nhau — $0.05$ so với $0.526$ — và lẫn chúng là lỗi nặng nhất của mảng xác suất.
Kết quả $0.526$ lớn hơn tỉ lệ sản lượng $0.4$ của $B$, đúng như trực giác: $B$ hay lỗi hơn nên nó chiếm phần lớn hơn trong rổ phế phẩm.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Probability & Statistics 1 gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.