Mục lục bài họcĐang ở d01-b2
Coordinate geometry, circular measure and trigonometry
Straight lines and circles
- Gradient $m=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$; perpendicular lines satisfy $m_{1}m_{2}=-1$.
- Midpoint $\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2},\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$, length $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.
- Circle: $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$, centre $(a,b)$, radius $r$. The tangent at a point is perpendicular to the radius drawn to that point.
Circular measure
With $\theta$ in radians:
$$s=r\theta,\qquad A=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta$$Area of a segment $=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta-\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\theta=\tfrac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)$.
Trigonometry
- Exact values at $30^{\circ},45^{\circ},60^{\circ}$ must be known without a calculator.
- $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ and $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ turn every equation into one in a single ratio.
- $y=a\sin(bx)+c$ has amplitude $|a|$, period $\dfrac{360^{\circ}}{b}$, and is shifted $c$ upwards.
Đường thẳng và đường tròn. Hệ số góc $m=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$; hai đường vuông góc thì $m_{1}m_{2}=-1$. Đường tròn $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ có tâm $(a,b)$, bán kính $r$; tiếp tuyến tại một điểm vuông góc với bán kính kẻ tới điểm đó — nhớ câu này là giải được gần hết các câu tiếp tuyến của Paper 1 mà không cần đạo hàm.
Số đo cung tròn. Hai công thức, và cả hai chỉ đúng khi $\theta$ tính bằng radian:
$$s=r\theta,\qquad A=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta$$Diện tích hình viên phân (segment) là phần quạt trừ đi phần tam giác:
$$A_{\text{viên phân}}=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta-\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\theta=\tfrac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)$$Ba chữ tiếng Anh phải phân biệt được vì đề dùng thẳng: arc (cung), sector (hình quạt), segment (hình viên phân, phần bị dây cung cắt ra).
Lượng giác. Giá trị chính xác tại $30^{\circ},45^{\circ},60^{\circ}$ phải thuộc, vì Paper 1 có phần không dùng máy tính trong lập luận. Hai hằng đẳng thức $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ và $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ có một công dụng duy nhất nhưng quyết định: đưa phương trình về một tỉ số duy nhất rồi mới giải. Với $y=a\sin(bx)+c$: biên độ $|a|$, chu kì $\dfrac{360^{\circ}}{b}$, dịch lên $c$.
Một hình quạt tròn bán kính $8$ cm có chu vi $28$ cm. Tính diện tích hình quạt.
Bước 1 — dựng phương trình chu vi. Chu vi hình quạt gồm hai bán kính và cung:
$$2r+r\theta=28\;\Longrightarrow\;16+8\theta=28\;\Longrightarrow\;\theta=1.5\ \text{rad}$$Bước 2 — diện tích.
$$A=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta=\tfrac{1}{2}(8)^{2}(1.5)=48\ \text{cm}^{2}$$Kiểm nhanh cho hợp lí: $\theta=1.5$ rad nhỏ hơn nửa vòng ($\pi\approx 3.14$), nên diện tích phải nhỏ hơn nửa hình tròn $\tfrac{1}{2}\pi(64)\approx 100$ cm². Được $48$ — hợp lí.
Nếu quên hai bán kính mà đặt $8\theta=28$ thì ra $\theta=3.5$ rad và diện tích $112$ cm², lớn hơn cả nửa hình tròn — con số đó tự nó đã báo là sai.
Đường thẳng $2x+y=12$ cắt đường cong $xy=16$ tại hai điểm $A$ và $B$. Tính độ dài $AB$, để dạng căn thức.
Bước 1 — khử một biến. Từ đường thẳng, $y=12-2x$. Thế vào $xy=16$:
$$x(12-2x)=16\;\Longrightarrow\;2x^{2}-12x+16=0\;\Longrightarrow\;x^{2}-6x+8=0$$$$(x-2)(x-4)=0\;\Longrightarrow\;x=2\ \text{hoặc}\ x=4$$Bước 2 — lấy đủ cả hai toạ độ. $x=2\Rightarrow y=8$; $x=4\Rightarrow y=4$. Vậy $A(2,8)$, $B(4,4)$.
Bước 3 — khoảng cách.
$$AB=\sqrt{(4-2)^{2}+(4-8)^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$Bài này mất điểm ở bước 2 nhiều hơn bước 1: tìm ra $x=2,4$ rồi lấy luôn hiệu $4-2=2$ làm khoảng cách. Hai điểm nằm trên một đường xiên, hiệu hoành độ chỉ là một cạnh góc vuông.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Pure Mathematics 1 gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.