Mục lục bài họcĐang ở d05-b2
Kinematics: constant acceleration and calculus methods
Constant acceleration
$$v=u+at,\quad s=ut+\tfrac{1}{2}at^{2},\quad v^{2}=u^{2}+2as,\quad s=\tfrac{1}{2}(u+v)t$$These are valid only while $a$ is constant. A journey with several phases needs the equations applied to each phase separately.
Velocity–time graphs
- Gradient gives acceleration;
- Area between the graph and the time axis gives displacement;
- area below the axis counts as negative displacement, so total distance and displacement differ whenever the graph crosses the axis.
Calculus methods
When $a$ is not constant, the suvat formulas are useless and the relationships are:
$$v=\frac{ds}{dt},\qquad a=\frac{dv}{dt},\qquad s=\int v\,dt,\qquad v=\int a\,dt$$“Instantaneously at rest” means $v=0$; “maximum velocity” means $a=\dfrac{dv}{dt}=0$.
Distance versus displacement
To find the distance travelled, find every time when $v=0$, evaluate $s$ at those times and at the endpoints, and add the magnitudes of the changes.
Gia tốc không đổi. Bốn công thức suvat, và chúng chỉ đúng khi $a$ không đổi. Hành trình nhiều giai đoạn phải áp riêng cho từng giai đoạn — dùng một lần cho cả hành trình là lỗi khái niệm, không phải lỗi tính.
Đồ thị vận tốc – thời gian. Đây là công cụ mạnh nhất của mảng này vì nó biến bài toán thành hình học:
- hệ số góc cho gia tốc;
- diện tích giữa đồ thị và trục thời gian cho độ dịch chuyển;
- phần diện tích dưới trục tính là dịch chuyển âm — nên quãng đường và độ dịch chuyển khác nhau mỗi khi đồ thị cắt trục.
Phương pháp giải tích. Khi $a$ thay đổi, suvat vô dụng và quan hệ là:
$$v=\frac{ds}{dt},\qquad a=\frac{dv}{dt},\qquad s=\int v\,dt,\qquad v=\int a\,dt$$Hai cách diễn đạt đề hay dùng: “instantaneously at rest” nghĩa là $v=0$; “maximum velocity” nghĩa là $a=\dfrac{dv}{dt}=0$. Hai điều kiện này khác hẳn nhau, và đọc nhầm là giải nhầm phương trình ngay từ dòng đầu.
Quãng đường khác độ dịch chuyển. Muốn tính quãng đường: tìm mọi thời điểm $v=0$, tính $s$ tại các thời điểm ấy và tại hai đầu mút, rồi cộng độ lớn các phần biến thiên. Lấy thẳng $s(t_{2})-s(t_{1})$ chỉ cho độ dịch chuyển, và hai số này bằng nhau chỉ khi vật không đổi chiều.
Một đoàn tàu xuất phát từ trạng thái nghỉ, tăng tốc đều trong $20$ s đạt $30$ m/s, chạy đều trong $T$ giây, rồi giảm tốc đều về nghỉ trong $15$ s. Tổng quãng đường là $1500$ m. Tìm $T$ và tốc độ trung bình của cả hành trình.
Bước 1 — hai giai đoạn có gia tốc, tính bằng diện tích tam giác.
$$s_{1}=\tfrac{1}{2}(20)(30)=300\ \text{m},\qquad s_{3}=\tfrac{1}{2}(15)(30)=225\ \text{m}$$Bước 2 — phần còn lại là giai đoạn đi đều.
$$s_{2}=1500-300-225=975\ \text{m}\;\Longrightarrow\;T=\frac{975}{30}=32.5\ \text{s}$$Bước 3 — tốc độ trung bình. Đây là tổng quãng đường chia tổng thời gian, không phải trung bình cộng của các tốc độ:
$$\text{tổng thời gian}=20+32.5+15=67.5\ \text{s}$$$$\bar v=\frac{1500}{67.5}=22.2\ \text{m/s}$$Kiểm hợp lý: tốc độ trung bình phải nằm giữa $0$ và $30$, và gần $30$ vì phần lớn thời gian tàu chạy đều. Được $22.2$ — hợp lý.
Một chất điểm chuyển động thẳng với $v=3t^{2}-12t+9$ (m/s), và $s=0$ khi $t=0$. Tính quãng đường đi được trong $4$ giây đầu.
Bước 1 — tìm mọi thời điểm đổi chiều.
$$3t^{2}-12t+9=0\;\Longrightarrow\;t^{2}-4t+3=0\;\Longrightarrow\;t=1,\ t=3$$Bước 2 — lấy nguyên hàm.
$$s=t^{3}-6t^{2}+9t\quad(\text{hằng số bằng }0\text{ vì }s=0\text{ tại }t=0)$$Bước 3 — lập bảng giá trị tại các mốc.
| $t$ | $0$ | $1$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|
| $s$ | $0$ | $4$ | $0$ | $4$ |
Bước 4 — cộng độ lớn từng chặng.
$$|4-0|+|0-4|+|4-0|=4+4+4=12\ \text{m}$$Trong khi đó độ dịch chuyển chỉ là $s(4)-s(0)=4$ m. Chất điểm đi tới $4$ m, quay về $0$, rồi lại đi ra $4$ m — tổng đường đi gấp ba lần khoảng cách cuối cùng so với điểm xuất phát.
Lấy thẳng $\displaystyle\int_{0}^{4}v\,dt$ cho $4$ m và trả lời sai câu hỏi. Dấu hiệu bắt buộc phải chia chặng: phương trình $v=0$ có nghiệm nằm trong khoảng thời gian đang xét.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Mechanics gồm 14 câu trắc nghiệm và 5 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.