Continuous random variables

Giải.

Bước 1 — hằng số chuẩn hoá. Tổng diện tích phải bằng $1$:

$$\int_{0}^{4}k\left(4x-x^{2}\right)dx=k\left[2x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{4}=k\left(32-\frac{64}{3}\right)=k\cdot\frac{32}{3}=1$$$$k=\frac{3}{32}$$

Bước 2 — kỳ vọng. Đồ thị đối xứng qua $x=2$ nên có thể đọc ngay $\text{E}(X)=2$; dưới đây là phép tính xác nhận:

$$\text{E}(X)=\int_{0}^{4}x\cdot\frac{3}{32}\left(4x-x^{2}\right)dx=\frac{3}{32}\left[\frac{4x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{4}=\frac{3}{32}\left(\frac{256}{3}-64\right)=\frac{3}{32}\cdot\frac{64}{3}=2$$

Bước 3 — phương sai.

$$\text{E}\left(X^{2}\right)=\frac{3}{32}\int_{0}^{4}\left(4x^{3}-x^{4}\right)dx=\frac{3}{32}\left[x^{4}-\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{4}=\frac{3}{32}\left(256-\frac{1024}{5}\right)=\frac{3}{32}\cdot\frac{256}{5}=\frac{24}{5}$$$$\text{Var}(X)=\frac{24}{5}-2^{2}=\frac{24-20}{5}=\frac{4}{5}=0.8$$

Kiểm hợp lý: $X$ chạy trong khoảng dài $4$ đơn vị nhưng dồn về giữa, nên độ lệch chuẩn $\sqrt{0.8}=0.89$ — nhỏ hơn hẳn nửa bề rộng khoảng. Hợp lý.

Giải.

Bước 1 — tích phân trong miền.

$$F(x)=\int_{0}^{x}\frac{t}{2}\,dt=\left[\frac{t^{2}}{4}\right]_{0}^{x}=\frac{x^{2}}{4}\qquad(0\le x\le 2)$$

Bước 2 — viết đủ ba khúc. Đây là bước bị bỏ quên nhiều nhất, và nó có điểm riêng:

$$F(x)=\begin{cases}0 & x<0\\[4pt] \dfrac{x^{2}}{4} & 0\le x\le 2\\[4pt] 1 & x>2\end{cases}$$

Kiểm hai đầu mút: $F(0)=0$ và $F(2)=\dfrac{4}{4}=1$. Nếu $F(2)$ không ra $1$ thì chắc chắn hằng số chuẩn hoá đã sai từ trước.

Bước 3 — trung vị. Trung vị là giá trị làm $F$ bằng $\dfrac{1}{2}$:

$$\frac{m^{2}}{4}=\frac{1}{2}\;\Longrightarrow\;m^{2}=2\;\Longrightarrow\;m=\sqrt{2}\approx 1.41$$

Chú ý trung vị $1.41$ lớn hơn điểm giữa khoảng ($1$), đúng như phải thế: mật độ tăng dần nên khối xác suất dồn về bên phải. Kỳ vọng ở đây là $\dfrac{4}{3}\approx 1.33$, cũng khác trung vị — mật độ này không đối xứng nên không được dùng lối tắt.