Mục lục bài họcĐang ở d07-b4
SHM Graphs, Equations of Motion and the Vertical Spring
Position, velocity and acceleration as functions of time
$$x=A\cos(\omega t),\qquad v=-A\omega\sin(\omega t),\qquad a=-A\omega^2\cos(\omega t),\qquad \omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$$Use cosine when the object is released from rest at maximum displacement ($x=A$ at $t=0$) and sine when it starts at equilibrium moving in the positive direction. Both describe the same motion; only the starting instant differs. Note $\omega$ here is angular frequency in rad/s — it is not a rotation, but it obeys $\omega=\sqrt{k/m}$ for a spring and $\sqrt{g/L}$ for a pendulum. From these, $v_{\max}=A\omega$ and $a_{\max}=A\omega^2$, and $a=-\omega^2x$ at every instant.
Reading the three graphs
On an $x$–$t$ graph, the slope is $v$: velocity is zero at the peaks and largest where the curve crosses the axis. Acceleration is always opposite to displacement, so the $a$–$t$ graph is the $x$–$t$ graph flipped upside down. The $v$–$t$ graph is shifted a quarter period ahead of $x$. Read the period from two successive identical points, not from peak to trough (that is only half a period). For $x=0{,}05\cos(4\pi t)$ m, $\omega=4\pi$ rad/s gives $T=0{,}5$ s, $v_{\max}=0{,}63$ m/s and $a_{\max}=7{,}9$ m/s².
The vertical spring
Hanging a mass on a spring stretches it by $\Delta y=\frac{mg}{k}$ to a new equilibrium. Oscillations then happen about that new equilibrium, with the same $T=2\pi\sqrt{m/k}$ as on a horizontal surface: gravity shifts the centre of the motion but does not change the period. A $0{,}4$ kg mass on a $100$ N/m spring hangs $0{,}04$ m below the unstretched length and oscillates with $T=2\pi\sqrt{0{,}004}\approx0{,}40$ s. The amplitude is set by where it is released: released from the unstretched position, it oscillates with $A=\Delta y$ about the new equilibrium, and the net force at the lowest point is $kA$ upward.
Vị trí, vận tốc, gia tốc theo thời gian: $x=A\cos(\omega t)$, $v=-A\omega\sin(\omega t)$, $a=-A\omega^2\cos(\omega t)$, với $\omega=2\pi/T=2\pi f$. Dùng cos khi vật thả từ nghỉ ở biên ($x=A$ lúc $t=0$), dùng sin khi vật xuất phát từ vị trí cân bằng theo chiều dương. Cùng một chuyển động, chỉ khác mốc thời gian. $\omega$ ở đây là tần số góc (rad/s), không phải quay, nhưng vẫn là $\sqrt{k/m}$ với lò xo và $\sqrt{g/L}$ với con lắc đơn. Từ đó $v_{\max}=A\omega$, $a_{\max}=A\omega^2$ và $a=-\omega^2x$ ở mọi thời điểm.
Đọc ba đồ thị: trên $x$–$t$, độ dốc là $v$ — bằng $0$ ở đỉnh, lớn nhất khi cắt trục. Gia tốc luôn ngược dấu với li độ, nên đồ thị $a$–$t$ là đồ thị $x$–$t$ lật ngược; đồ thị $v$–$t$ đi trước $x$ một phần tư chu kỳ. Đọc chu kỳ giữa hai điểm giống hệt nhau liên tiếp, đừng đọc từ đỉnh xuống đáy (chỉ là nửa chu kỳ). Với $x=0{,}05\cos(4\pi t)$ m: $T=0{,}5$ s, $v_{\max}=0{,}63$ m/s, $a_{\max}=7{,}9$ m/s².
Lò xo treo thẳng đứng: treo vật vào, lò xo dãn thêm $\Delta y=mg/k$ đến vị trí cân bằng mới. Dao động diễn ra quanh vị trí cân bằng mới với đúng $T=2\pi\sqrt{m/k}$ như trên mặt ngang: trọng lực dời tâm dao động nhưng không đổi chu kỳ. Vật $0{,}4$ kg trên lò xo $100$ N/m treo thấp hơn chiều dài tự nhiên $0{,}04$ m và dao động với $T\approx0{,}40$ s. Biên độ do chỗ thả quyết định: thả từ vị trí lò xo chưa dãn thì $A=\Delta y$, và hợp lực ở điểm thấp nhất là $kA$ hướng lên.
(a) Một vật dao động theo $x=0{,}05\cos(4\pi t)$ (m, s). Tìm chu kỳ, thời điểm đầu tiên vật qua vị trí cân bằng, và tốc độ tại thời điểm đó. (b) Vật $0{,}4$ kg treo vào lò xo $k=100$ N/m, giữ ở vị trí lò xo chưa dãn rồi thả nhẹ. Tìm biên độ dao động và lực lò xo lớn nhất. Lấy $g=10$ m/s².
(a) $\omega=4\pi$ rad/s nên
$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{4\pi}=0{,}5\ \text{s}$$Xuất phát ở biên $x=A$, vật qua cân bằng lần đầu sau một phần tư chu kỳ: $t=T/4=0{,}125$ s. Ở đó tốc độ cực đại:
$$v_{\max}=A\omega=0{,}05(4\pi)\approx0{,}63\ \text{m/s}$$(b) Vị trí cân bằng mới cách chỗ chưa dãn
$$\Delta y=\frac{mg}{k}=\frac{0{,}4(10)}{100}=0{,}04\ \text{m}$$Thả từ chỗ chưa dãn, tức cách cân bằng $0{,}04$ m và đang đứng yên, nên $A=0{,}04$ m. Điểm thấp nhất cách chỗ chưa dãn $2A=0{,}08$ m, lực lò xo ở đó:
$$F_{\max}=k(2A)=100(0{,}08)=8\ \text{N}$$gấp đôi trọng lượng $4$ N — nên hợp lực ở đáy là $4$ N hướng lên, đúng bằng $kA$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 7 — Oscillations gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.