Mục lục bài họcĐang ở d05-b3
Rolling Without Slipping
The rolling condition
$$v_{\text{cm}}=\omega R,\qquad a_{\text{cm}}=\alpha R$$This is what links the rotational and translational descriptions. It holds only when the contact point does not slide.
Energy of a rolling body
$$K_{\text{tổng}}=\tfrac12mv_{\text{cm}}^2+\tfrac12I\omega^2$$A rolling object has to share its energy between moving and spinning. That is why, released from the same height, objects with larger $I/MR^2$ arrive slower:
- sphere ($\tfrac25$) fastest
- disc ($\tfrac12$) middle
- hoop ($1$) slowest
Remarkably, mass and radius cancel out — only the shape matters. A marble and a bowling ball tie.
Điều kiện lăn không trượt: $v_{\text{cm}}=\omega R$ và $a_{\text{cm}}=\alpha R$. Đây là cầu nối giữa mô tả tịnh tiến và mô tả quay, và nó chỉ đúng khi điểm tiếp xúc không trượt.
Năng lượng của vật lăn chia làm hai phần: tịnh tiến và quay. Vật lăn phải “chia” năng lượng cho cả hai việc.
Vì thế thả từ cùng độ cao, vật có tỉ số $\frac{I}{MR^2}$ lớn hơn sẽ tới đích chậm hơn:
- Cầu đặc ($\tfrac25$) — nhanh nhất
- Đĩa/trụ đặc ($\tfrac12$) — giữa
- Vành/ống ($1$) — chậm nhất
Điều bất ngờ: khối lượng và bán kính triệt tiêu hết. Chỉ hình dạng quyết định. Hòn bi ve và quả bowling về đích cùng lúc.
Quả cầu đặc lăn không trượt từ độ cao $h=0{,}7$ m. Tính tốc độ khối tâm ở chân dốc. Lấy $g=10$.
Bảo toàn năng lượng, với $I=\tfrac25MR^2$ và $\omega=\frac{v}{R}$:
$$Mgh=\tfrac12Mv^2+\tfrac12\left(\tfrac25MR^2\right)\frac{v^2}{R^2}=\tfrac12Mv^2+\tfrac15Mv^2=\tfrac{7}{10}Mv^2$$$M$ và $R$ triệt tiêu:
$$v=\sqrt{\frac{10gh}{7}}=\sqrt{\frac{10(10)(0{,}7)}{7}}=\sqrt{10}\approx3{,}16\ \text{m/s}$$So với trượt không ma sát ($v=\sqrt{2gh}\approx3{,}74$ m/s), quả cầu lăn chậm hơn — vì $\tfrac27$ năng lượng đã đi vào chuyển động quay.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 5 — Torque and Rotational Dynamics gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.