Electric and magnetic fields

Trường điện và trường từ

Lý thuyết · English

Coulomb's law and electric field

$$F=\frac{kq_{1}q_{2}}{r^{2}},\qquad E=\frac{F}{q}=\frac{kQ}{r^{2}},\qquad k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}$$

Formally identical to gravitation, with two differences that matter: charge can be negative, so the force can repel; and the electric force between two protons is about $10^{36}$ times their gravitational attraction.

Uniform fields between plates

$$E=\frac{V}{d}$$

The field between parallel plates is uniform, so a charge in it feels a constant force — the motion is exactly like projectile motion under gravity.

Magnetic force

$$F=qvB\sin\theta\ \text{(moving charge)},\qquad F=BIL\sin\theta\ \text{(current in a wire)}$$

The force is perpendicular to both $v$ and $B$, so it never does work on the charge: a magnetic field changes direction but never speed. Use Fleming's left-hand rule for the direction, remembering that conventional current is opposite to electron flow.

Giải thích tiếng Việt

Định luật Coulomb và điện trường.

$$F=\frac{kq_{1}q_{2}}{r^{2}},\qquad E=\frac{F}{q}=\frac{kQ}{r^{2}}$$

Công thức giống hệt hấp dẫn về mặt hình thức, nhưng khác ở hai điểm có hậu quả thật: điện tích có thể âm nên lực có thể đẩy, và độ lớn thì chênh nhau khủng khiếp — lực điện giữa hai proton lớn hơn lực hấp dẫn giữa chúng khoảng $10^{36}$ lần. Đó là lý do ở quy mô nguyên tử hấp dẫn hoàn toàn bỏ qua được, còn ở quy mô thiên thể thì điện lại bỏ qua được vì vật chất trung hoà.

Trường đều giữa hai bản.

$$E=\frac{V}{d}$$

Trường giữa hai bản song song là đều, nên điện tích trong đó chịu lực không đổi — chuyển động của nó giống hệt chuyển động ném xiên dưới tác dụng trọng lực, và giải bằng đúng bộ công cụ ấy: tách thành hai phương độc lập nối nhau bằng thời gian.

Lực từ.

$$F=qvB\sin\theta\ \text{(điện tích chuyển động)},\qquad F=BIL\sin\theta\ \text{(dây có dòng)}$$

Điểm khác biệt cốt lõi: lực từ vuông góc với cả $v$ lẫn $B$, nên nó không bao giờ sinh công. Từ trường đổi được hướng chuyển động nhưng không đổi được tốc độ — đó là lý do hạt tích điện trong từ trường đều đi theo đường tròn chứ không nhanh dần.

Xác định chiều bằng quy tắc bàn tay trái Fleming, và nhớ dòng điện quy ước ngược chiều dòng electron.

Vì sao quỹ đạo là đường tròn chứ không phải parabol. Lực từ luôn vuông góc với vận tốc, nên nó chỉ bẻ hướng chứ không làm nhanh hay chậm — độ lớn $v$ giữ nguyên, và một lực có độ lớn không đổi luôn vuông góc với vận tốc chính là định nghĩa của lực hướng tâm. Đối chiếu với điện trường đều giữa hai bản: ở đó lực cùng phương suốt, nên nó vừa bẻ hướng vừa đổi tốc độ, và quỹ đạo là parabol giống hệt bài ném xiên. Một hệ quả đáng nhớ từ $r=\dfrac{mv}{qB}$: hạt càng nhanh thì vòng tròn càng rộng, nhưng chu kỳ $T=\dfrac{2\pi m}{qB}$ lại không phụ thuộc tốc độ — đó chính là nguyên lý của máy gia tốc cyclotron.

Ví dụ — hạt tích điện bay vào giữa hai bản

Một electron bay theo phương ngang với tốc độ $3.0\times10^{6}$ m/s vào giữa hai bản song song dài $6.0$ cm, cách nhau $2.0$ cm, hiệu điện thế $200$ V. Tính độ lệch theo phương đứng khi nó ra khỏi vùng giữa hai bản. Cho $e=1.6\times10^{-19}$ C, $m_{e}=9.1\times10^{-31}$ kg.

Giải.

Bước 1 — nhận ra đây là bài ném xiên. Trường giữa hai bản là đều, nên lực không đổi và hai phương độc lập với nhau, nối nhau chỉ bằng thời gian.

Bước 2 — cường độ trường và gia tốc.

$$E=\frac{V}{d}=\frac{200}{0.020}=1.0\times10^{4}\ \text{V/m}$$$$a=\frac{eE}{m}=\frac{(1.6\times10^{-19})(1.0\times10^{4})}{9.1\times10^{-31}}=1.76\times10^{15}\ \text{m/s}^{2}$$

Bước 3 — thời gian, tính từ phương ngang. Theo phương ngang không có lực nên electron đi đều:

$$t=\frac{0.060}{3.0\times10^{6}}=2.0\times10^{-8}\ \text{s}$$

Bước 4 — độ lệch, tính từ phương đứng. Vận tốc đứng ban đầu bằng $0$:

$$y=\tfrac{1}{2}at^{2}=\tfrac{1}{2}(1.76\times10^{15})(2.0\times10^{-8})^{2}=3.5\times10^{-1}\ \text{m}$$

Con số này lớn hơn khoảng cách giữa hai bản ($0.020$ m) rất nhiều, nên electron thật ra đập vào bản trước khi ra khỏi vùng — đó là kết luận vật lý phải nêu ra, chứ không phải viết một độ lệch $35$ cm giữa hai bản cách nhau $2$ cm.

Bài này minh hoạ vì sao phải đối chiếu đáp số với kích thước bài toán: phép tính đúng vẫn có thể dẫn tới một kết luận vô lý nếu bỏ qua ràng buộc hình học.

Ví dụ — lực từ lên dây dẫn nghiêng góc

Một đoạn dây dài $0.20$ m mang dòng $3.0$ A đặt trong từ trường đều $0.50$ T, hợp với đường sức một góc $30^{\circ}$. Tính lực từ, và nêu góc nào cho lực lớn nhất, góc nào cho lực bằng $0$.

Giải.

Tính lực.

$$F=BIL\sin\theta=(0.50)(3.0)(0.20)\sin 30^{\circ}=(0.30)(0.50)=0.15\ \text{N}$$

Hai trường hợp giới hạn. Vì $\sin\theta$ đạt cực đại tại $90^{\circ}$ và bằng $0$ tại $0^{\circ}$:

dây vuông góc với đường sức: $F=BIL=0.30$ N, lớn nhất;
dây song song với đường sức: $F=0$, không có lực nào.

Vì sao là sin chứ không phải cos. Chỉ thành phần dòng điện vuông góc với từ trường mới sinh lực; thành phần song song không đóng góp gì. Với góc $\theta$ đo giữa dây và đường sức, thành phần vuông góc là $I\sin\theta$.

Đây là chỗ khác hẳn với công cơ học, nơi ta quen lấy $\cos$ của góc giữa lực và độ dịch chuyển. Cách phân biệt chắc chắn: hỏi góc đang đo giữa hai đại lượng nào, rồi hỏi thành phần nào mới có tác dụng. Lắp nhầm ở đây cho $0.26$ N — một con số hoàn toàn hợp lý về độ lớn nên không tự lộ ra.

Bẫy hay mất điểm — Cho rằng lực từ làm hạt tích điện nhanh dần. Lực từ luôn vuông góc với vận tốc, nên công của nó bằng $0$ ở mọi thời điểm — từ trường không thể làm hạt nhanh lên hay chậm đi, nó chỉ bẻ hướng. Hệ quả cụ thể: hạt vào từ trường đều theo phương vuông góc sẽ đi đường tròn với tốc độ không đổi, mãi mãi. Đối chiếu với điện trường: ở đó lực cùng phương với trường nên nó có sinh công và có làm hạt nhanh lên — đó là lý do người ta dùng điện trường để gia tốc hạt và dùng từ trường để lái hạt, không bao giờ ngược lại. Một biến thể của bẫy này cũng hay sụp: nghĩ rằng hạt nhanh hơn thì quay nhanh hơn. Bán kính $r=\dfrac{mv}{qB}$ đúng là tăng theo $v$, nhưng chu kỳ $T=\dfrac{2\pi m}{qB}$ không phụ thuộc $v$ — hạt nhanh hơn đi vòng rộng hơn nhưng vẫn hết đúng bấy nhiêu thời gian.

Phải nhớ — Ba trường, ba câu hỏi khác nhau. Hấp dẫn và điện dùng chung một dạng công thức, khác nhau ở dấu và độ lớn. Từ trường thì khác về bản chất: lực vuông góc với vận tốc nên không sinh công, và mọi kết luận về chuyển động trong từ trường đều bắt nguồn từ một câu đó.

Đọc xong rồi — làm thử ngay

Bài tập của chương Theme D: Fields gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.

Làm bài tập chương →

← Bài trướcGravitational fields, potential and orbits Bài sau →Electromagnetic induction (HL)