Mục lục bài họcĐang ở d04-b1
Gravitational fields, potential and orbits
Newton's law and field strength
$$F=\frac{GMm}{r^{2}},\qquad g=\frac{F}{m}=\frac{GM}{r^{2}}$$Field strength is force per unit mass, so it does not depend on the test mass. At the surface of a planet, $r$ is the planet's radius — not the height above it.
Potential and potential energy (HL)
$$V_{g}=-\frac{GM}{r},\qquad E_{p}=mV_{g}=-\frac{GMm}{r}$$Both are negative, because the zero of potential is taken at infinity and gravity is always attractive: bringing a mass in from infinity releases energy. Potential falls off as $\dfrac{1}{r}$ while field strength falls off as $\dfrac{1}{r^{2}}$ — the two graphs look different and are often confused.
Orbits and escape
For a circular orbit, gravity supplies exactly the centripetal force:
$$\frac{GMm}{r^{2}}=\frac{mv^{2}}{r}\;\Longrightarrow\;v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$$Escape speed comes from setting total energy to zero:
$$\tfrac{1}{2}mv_{\text{esc}}^{2}-\frac{GMm}{r}=0\;\Longrightarrow\;v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=\sqrt{2}\,v_{\text{orbit}}$$Định luật Newton và cường độ trường.
$$F=\frac{GMm}{r^{2}},\qquad g=\frac{F}{m}=\frac{GM}{r^{2}}$$Cường độ trường là lực trên mỗi đơn vị khối lượng, nên nó không phụ thuộc vật thử. Ở bề mặt hành tinh, $r$ là bán kính hành tinh chứ không phải độ cao so với mặt đất — đây là chỗ thay số nhầm phổ biến nhất.
Thế hấp dẫn và thế năng (HL).
$$V_{g}=-\frac{GM}{r},\qquad E_{p}=mV_{g}=-\frac{GMm}{r}$$Cả hai đều âm, và dấu âm ấy có nghĩa chứ không phải quy ước tuỳ tiện: mốc thế được chọn ở vô cực, mà hấp dẫn luôn hút, nên kéo một vật từ vô cực về là giải phóng năng lượng. Vật càng gần thì thế càng âm sâu.
Chú ý hai tốc độ giảm khác nhau: thế giảm theo $\dfrac{1}{r}$ còn cường độ trường giảm theo $\dfrac{1}{r^{2}}$. Hai đồ thị trông khác hẳn nhau và đề rất hay cho một đồ thị rồi hỏi nó biểu diễn đại lượng nào.
Quỹ đạo và tốc độ vũ trụ. Với quỹ đạo tròn, lực hấp dẫn đóng đúng vai trò lực hướng tâm:
$$\frac{GMm}{r^{2}}=\frac{mv^{2}}{r}\;\Longrightarrow\;v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$$Khối lượng vệ tinh triệt tiêu, nên mọi vệ tinh ở cùng bán kính đều có cùng tốc độ. Tốc độ thoát suy ra từ điều kiện tổng năng lượng bằng $0$:
$$v_{\text{thoát}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=\sqrt{2}\,v_{\text{quỹ đạo}}$$Một vệ tinh chuyển động tròn đều quanh Trái Đất ở bán kính $r$ với tốc độ $v$. Tìm hệ thức giữa $v$ và tốc độ thoát tại chính bán kính đó, và giải thích vì sao khối lượng vệ tinh không xuất hiện trong cả hai kết quả.
Bước 1 — tốc độ quỹ đạo. Lực hấp dẫn đóng vai trò lực hướng tâm:
$$\frac{GMm}{r^{2}}=\frac{mv^{2}}{r}$$Khối lượng vệ tinh $m$ có mặt ở cả hai vế nên nó triệt tiêu:
$$v^{2}=\frac{GM}{r}\;\Longrightarrow\;v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$$Bước 2 — tốc độ thoát. Thoát nghĩa là tới được vô cực với tốc độ bằng $0$, tức tổng năng lượng bằng $0$:
$$\tfrac{1}{2}mv_{\text{thoát}}^{2}-\frac{GMm}{r}=0\;\Longrightarrow\;v_{\text{thoát}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$$Bước 3 — so sánh.
$$\frac{v_{\text{thoát}}}{v}=\frac{\sqrt{2GM/r}}{\sqrt{GM/r}}=\sqrt{2}\approx 1.41$$Vì sao $m$ biến mất. Ở cả hai bài, mọi số hạng đều tỉ lệ với $m$ — lực hấp dẫn tỉ lệ với $m$, lực hướng tâm tỉ lệ với $m$, động năng tỉ lệ với $m$, thế năng tỉ lệ với $m$. Chia cả phương trình cho $m$ là nó biến mất. Hệ quả vật lý: một viên bi và một trạm vũ trụ ở cùng độ cao phải bay cùng tốc độ, và cần cùng tốc độ để thoát.
Chú ý kết quả $\sqrt{2}$ chỉ tăng $41\%$ — nghe nhỏ, nhưng năng lượng cần thì gấp đôi vì động năng tỉ lệ với bình phương tốc độ.
Hành tinh $X$ có khối lượng gấp đôi và bán kính gấp đôi Trái Đất. Tính cường độ trường hấp dẫn ở bề mặt $X$ theo $g$ của Trái Đất, và so sánh tốc độ thoát của hai hành tinh.
Cường độ trường. Thay vào công thức và giữ nguyên dạng phân số:
$$g_{X}=\frac{G(2M)}{(2R)^{2}}=\frac{2GM}{4R^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{GM}{R^{2}}=\frac{g}{2}$$Trọng lực ở bề mặt $X$ chỉ bằng một nửa Trái Đất, dù hành tinh nặng gấp đôi — vì bán kính vào công thức ở dạng bình phương nên nó thắng.
Tốc độ thoát.
$$v_{\text{thoát},X}=\sqrt{\frac{2G(2M)}{2R}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=v_{\text{thoát},\text{Đất}}$$Hai tốc độ thoát bằng nhau. Lý do: trong công thức tốc độ thoát, $r$ chỉ vào ở bậc một chứ không bình phương, nên khối lượng gấp đôi và bán kính gấp đôi triệt tiêu nhau đúng bằng.
Bài này cho thấy vì sao không thể suy từ “trọng lực yếu hơn” ra “dễ thoát hơn”: hai đại lượng phụ thuộc $r$ theo hai bậc khác nhau. Muốn so sánh thì phải thay vào công thức tương ứng, không suy diễn bằng trực giác.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Theme D: Fields gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.