Mục lục bài họcĐang ở d01-b1
Kinematics: motion graphs, projectiles and fluid resistance
The constant-acceleration equations
$$v=u+at,\qquad s=ut+\tfrac{1}{2}at^{2},\qquad v^{2}=u^{2}+2as,\qquad s=\tfrac{1}{2}(u+v)t$$They are valid only while $a$ is constant, and each one is applied to one axis at a time. A journey made of several phases needs the equations written separately for each phase.
Reading motion graphs
- On a displacement–time graph the gradient is velocity; a curve means the velocity is changing.
- On a velocity–time graph the gradient is acceleration and the area between the line and the time axis is displacement.
- Area below the time axis counts as negative displacement. Distance travelled and displacement therefore differ as soon as the graph crosses the axis — and the crossing point, not the point where the graph bends, is where the body reverses.
Projectile motion
Horizontal and vertical motions are independent and share only the time $t$. With air resistance neglected, $a_x=0$ and $a_y=-g$, so
$$x=u\cos\theta\,t,\qquad y=u\sin\theta\,t-\tfrac{1}{2}gt^{2}$$Over level ground the time of flight is $T=\dfrac{2u\sin\theta}{g}$ and the range is $R=\dfrac{u^{2}\sin 2\theta}{g}$. Neither formula survives a launch from a cliff: there you must solve the quadratic in $y$.
Fluid resistance and terminal speed
Drag increases with speed, so a falling body's acceleration decreases until the drag equals the weight. The speed then stays constant at the terminal speed $v_t$. The body never slows down on the way — it only stops speeding up.
Bộ công thức gia tốc không đổi
$$v=u+at,\qquad s=ut+\tfrac{1}{2}at^{2},\qquad v^{2}=u^{2}+2as,\qquad s=\tfrac{1}{2}(u+v)t$$Bốn công thức này chỉ đúng khi $a$ không đổi, và mỗi công thức áp cho một trục tại một thời điểm. Hành trình nhiều giai đoạn phải viết riêng từng giai đoạn — dùng một lần cho cả hành trình là lỗi khái niệm chứ không phải lỗi tính.
Đọc đồ thị chuyển động
- Đồ thị độ dịch chuyển – thời gian: hệ số góc là vận tốc; đồ thị cong nghĩa là vận tốc đang đổi.
- Đồ thị vận tốc – thời gian: hệ số góc là gia tốc, diện tích giữa đồ thị và trục thời gian là độ dịch chuyển.
- Phần diện tích dưới trục tính là dịch chuyển âm. Vì vậy quãng đường (distance) và độ dịch chuyển (displacement) khác nhau ngay khi đồ thị cắt trục — và chỗ vật đổi chiều là chỗ đồ thị cắt trục, không phải chỗ đồ thị gãy.
Chuyển động ném xiên
Hai phương ngang và đứng độc lập nhau, chỉ dùng chung một biến là thời gian $t$. Bỏ qua lực cản thì $a_x=0$ và $a_y=-g$:
$$x=u\cos\theta\,t,\qquad y=u\sin\theta\,t-\tfrac{1}{2}gt^{2}$$Trên mặt đất bằng phẳng, thời gian bay là $T=\dfrac{2u\sin\theta}{g}$ và tầm xa là $R=\dfrac{u^{2}\sin 2\theta}{g}$. Hai công thức này chết ngay khi vật được ném từ vách đá xuống: khi đó phải giải phương trình bậc hai theo $y$, không có lối tắt.
Lực cản và tốc độ giới hạn
Lực cản tăng theo tốc độ, nên gia tốc của vật rơi giảm dần cho tới khi lực cản bằng trọng lực. Từ đó tốc độ giữ nguyên ở terminal speed $v_t$. Vật không hề chậm lại trên đường rơi — nó chỉ ngừng nhanh lên. Đây là chỗ mất điểm kinh điển: viết "vật chậm dần rồi dừng ở tốc độ giới hạn" là mất trọn ý.
Một quả bóng được ném từ mép vách đá cao $45\ \text{m}$ với tốc độ $25\ \text{m s}^{-1}$, hợp với phương ngang góc $37^\circ$ hướng lên. Lấy $g=9.81\ \text{m s}^{-2}$, $\sin 37^\circ=0.60$, $\cos 37^\circ=0.80$. Tính thời gian bay tới lúc chạm đất và tầm xa theo phương ngang.
Tách vận tốc đầu: $u_x=25(0.80)=20\ \text{m s}^{-1}$, $u_y=25(0.60)=15\ \text{m s}^{-1}$.
Chọn chiều dương hướng lên, gốc tại điểm ném. Khi chạm đất $y=-45\ \text{m}$:
$$-45=15t-\tfrac{1}{2}(9.81)t^{2}\;\Longrightarrow\;4.905t^{2}-15t-45=0$$$$t=\frac{15+\sqrt{225+4(4.905)(45)}}{2(4.905)}=\frac{15+\sqrt{1107.9}}{9.81}=\frac{15+33.29}{9.81}=4.92\ \text{s}$$Nghiệm âm bị loại vì nó ứng với thời điểm trước lúc ném. Tầm xa:
$$x=u_xt=20(4.92)=98.4\approx 98\ \text{m}$$Nếu dùng công thức $R=u^{2}\sin 2\theta/g$ sẽ ra $25^{2}(0.96)/9.81=61.2\ \text{m}$ — sai $38\%$, vì công thức ấy giả thiết điểm ném và điểm rơi cùng độ cao.
Một quả cầu khối lượng $0.50\ \text{kg}$ rơi trong không khí, lực cản có dạng $F=kv^{2}$. Tốc độ giới hạn đo được là $20\ \text{m s}^{-1}$. Lấy $g=10\ \text{m s}^{-2}$. Tính gia tốc của quả cầu tại thời điểm tốc độ của nó bằng $10\ \text{m s}^{-1}$.
Ở tốc độ giới hạn, lực cản cân bằng trọng lực:
$$kv_t^{2}=mg\;\Longrightarrow\;k=\frac{mg}{v_t^{2}}=\frac{0.50(10)}{400}=0.0125\ \text{kg m}^{-1}$$Tại $v=10\ \text{m s}^{-1}$:
$$F=kv^{2}=0.0125(100)=1.25\ \text{N}$$Cách nhanh hơn, không cần tính $k$: vì $F\propto v^{2}$ nên $F=mg\left(\dfrac{v}{v_t}\right)^{2}=5.0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=1.25\ \text{N}$.
$$a=\frac{mg-F}{m}=\frac{5.0-1.25}{0.50}=7.5\ \text{m s}^{-2}$$Kiểm thứ nguyên: $\text{N}/\text{kg}=\text{m s}^{-2}$, đúng. Kiểm ý nghĩa: $a$ phải nằm giữa $0$ và $g=10$, và ở nửa tốc độ giới hạn thì lực cản mới chỉ bằng một phần tư trọng lực, nên $a$ phải còn khá lớn — $7.5$ hợp lý.
Ba cái bẫy nuốt điểm nhiều nhất ở mảng động học.
- Dùng $R=u^{2}\sin2\theta/g$ cho bài ném từ độ cao khác. Công thức đó chỉ đúng khi điểm ném và điểm rơi cùng cao. Ném từ vách đá thì phải giải phương trình bậc hai.
- Lẫn "gãy" với "cắt trục" trên đồ thị $v$–$t$. Chỗ gãy là chỗ gia tốc đổi; chỗ cắt trục mới là chỗ vật đổi chiều. Tính quãng đường mà chia đoạn theo chỗ gãy là sai.
- Nói vật "chậm dần" khi tiến tới tốc độ giới hạn. Gia tốc giảm dần về $0$, nhưng tốc độ vẫn tăng suốt quá trình. Giám khảo IB chấm rất chặt cách diễn đạt này.
Chốt: mọi bài động học bắt đầu bằng hai câu hỏi — gia tốc có không đổi không? và tôi đang làm việc trên trục nào? Trả lời xong hai câu đó thì công thức tự chọn nó.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Theme A: Space, Time and Motion gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.