Mục lục bài họcĐang ở d01-b3
Work, energy, power; (HL) rigid body mechanics and special relativity
Work, energy and power
$$W=Fs\cos\theta,\qquad E_k=\tfrac{1}{2}mv^{2},\qquad \Delta E_p=mg\Delta h,\qquad P=\frac{\Delta W}{\Delta t}=Fv$$The work–energy theorem says the net work done equals the change in kinetic energy. Efficiency is $\eta=\dfrac{\text{useful output}}{\text{total input}}$ and can never exceed $1$.
(HL) Rigid body mechanics
Torque about a point is $\Gamma=Fr\sin\theta$. The rotational analogues run in parallel with the linear ones:
$$\Gamma=I\alpha,\qquad L=I\omega,\qquad E_k=\tfrac{1}{2}I\omega^{2},\qquad \omega=\omega_0+\alpha t$$For a uniform rod of length $L$ about one end, $I=\tfrac{1}{3}mL^{2}$; about its centre, $I=\tfrac{1}{12}mL^{2}$. When no external torque acts, $L=I\omega$ is conserved — but rotational kinetic energy is not, because internal forces do work when $I$ changes.
(HL) Special relativity
Two postulates: the laws of physics are the same in all inertial frames, and the speed of light in vacuum is $c$ for every inertial observer. Everything follows from
$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}},\qquad \Delta t=\gamma\Delta t_0,\qquad L=\frac{L_0}{\gamma}$$Proper time $\Delta t_0$ is measured by a single clock present at both events; proper length $L_0$ is measured in the frame where the object is at rest. Velocities add as $u'=\dfrac{u+v}{1+uv/c^{2}}$, which can never give a result exceeding $c$.
Công, năng lượng và công suất
$$W=Fs\cos\theta,\qquad E_k=\tfrac{1}{2}mv^{2},\qquad \Delta E_p=mg\Delta h,\qquad P=\frac{\Delta W}{\Delta t}=Fv$$Định lí công – động năng: công của hợp lực bằng độ biến thiên động năng. Hiệu suất $\eta=\dfrac{\text{đầu ra có ích}}{\text{đầu vào toàn phần}}$, không bao giờ vượt $1$. Nhớ góc $\theta$ trong $W=Fs\cos\theta$ là góc giữa lực và độ dịch chuyển, không phải góc của mặt nghiêng.
(HL) Cơ vật rắn
Mô-men lực quanh một điểm: $\Gamma=Fr\sin\theta$. Bộ đại lượng quay chạy song song với bộ tịnh tiến:
$$\Gamma=I\alpha,\qquad L=I\omega,\qquad E_k=\tfrac{1}{2}I\omega^{2},\qquad \omega=\omega_0+\alpha t$$Thanh đồng chất dài $L$ quay quanh một đầu có $I=\tfrac{1}{3}mL^{2}$; quanh tâm thì $I=\tfrac{1}{12}mL^{2}$. Khi không có mô-men lực ngoài, $L=I\omega$ bảo toàn — nhưng động năng quay thì không, vì nội lực sinh công khi $I$ thay đổi. Vận động viên trượt băng co tay lại quay nhanh hơn và có động năng lớn hơn: phần dôi ra lấy từ công cơ bắp.
(HL) Thuyết tương đối hẹp
Hai tiên đề: các định luật vật lí như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính, và tốc độ ánh sáng trong chân không bằng $c$ với mọi quan sát viên quán tính. Mọi thứ còn lại suy ra từ
$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}},\qquad \Delta t=\gamma\Delta t_0,\qquad L=\frac{L_0}{\gamma}$$Proper time $\Delta t_0$ là khoảng thời gian đo bằng một đồng hồ có mặt tại cả hai biến cố; proper length $L_0$ đo trong hệ mà vật đứng yên. Hai khái niệm này là chỗ mất điểm số một: chọn nhầm cái nào là "proper" thì nhân thay vì chia. Cộng vận tốc: $u'=\dfrac{u+v}{1+uv/c^{2}}$ — công thức này không bao giờ cho kết quả vượt $c$.
Thanh đồng chất khối lượng $2.4\ \text{kg}$, dài $1.5\ \text{m}$, quay quanh trục ngang tại một đầu. Thanh được giữ nằm ngang rồi thả. Lấy $g=9.81\ \text{m s}^{-2}$ và $I_{\text{thanh}}=\tfrac{1}{3}mL^{2}$. Tính gia tốc góc ban đầu, tốc độ góc khi thanh đi qua vị trí thẳng đứng, và tốc độ góc ngay sau khi một vòng kim loại $0.60\ \text{kg}$ đang đứng yên bị kẹp chặt vào thanh tại điểm cách trục $1.0\ \text{m}$.
Mô-men quán tính của thanh:
$$I=\tfrac{1}{3}(2.4)(1.5)^{2}=\tfrac{1}{3}(2.4)(2.25)=1.80\ \text{kg m}^{2}$$Lúc thanh nằm ngang, trọng lực đặt tại trung điểm nên cánh tay đòn là $L/2$:
$$\Gamma=mg\frac{L}{2}=2.4(9.81)(0.75)=17.7\ \text{N m},\qquad \alpha=\frac{\Gamma}{I}=\frac{17.7}{1.80}=9.81\ \text{rad s}^{-2}$$Khi thanh xuống vị trí thẳng đứng, khối tâm hạ $0.75\ \text{m}$:
$$mg\frac{L}{2}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}\;\Longrightarrow\;17.7=0.900\,\omega^{2}\;\Longrightarrow\;\omega=4.43\ \text{rad s}^{-1}$$Kẹp vòng vào là quá trình có nội lực lớn trong thời gian rất ngắn, nên dùng bảo toàn mô-men động lượng, không dùng bảo toàn năng lượng:
$$I'=1.80+0.60(1.0)^{2}=2.40\ \text{kg m}^{2}$$$$I\omega=I'\omega'\;\Longrightarrow\;1.80(4.43)=2.40\,\omega'\;\Longrightarrow\;\omega'=3.32\ \text{rad s}^{-1}$$Kiểm: động năng quay tụt từ $17.7\ \text{J}$ xuống $\tfrac{1}{2}(2.40)(3.32)^{2}=13.2\ \text{J}$. Mất $4.5\ \text{J}$ là đúng bản chất — mọi va chạm mềm đều mất động năng.
Muon sinh ra ở độ cao $10.0\ \text{km}$ và bay thẳng xuống mặt biển với tốc độ $0.995c$. Chu kì bán rã riêng của muon là $1.56\ \mu\text{s}$. Tính tỉ lệ muon còn sống khi tới mặt biển, làm theo cả hai hệ quy chiếu.
Hệ số Lorentz:
$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0.995^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-0.990025}}=\frac{1}{0.09987}=10.0$$Theo hệ Trái Đất. Thời gian bay:
$$t=\frac{10\,000}{0.995(3.00\times10^{8})}=3.35\times10^{-5}\ \text{s}=33.5\ \mu\text{s}$$Trong hệ này, chu kì bán rã của muon giãn ra: $T=\gamma T_0=10.0(1.56)=15.6\ \mu\text{s}$. Số chu kì bán rã trôi qua: $33.5/15.6=2.15$.
$$\frac{N}{N_0}=2^{-2.15}=0.225$$Theo hệ của muon. Muon đứng yên, còn khí quyển lao tới nó với quãng đường co lại:
$$L=\frac{L_0}{\gamma}=\frac{10\,000}{10.0}=1.00\times10^{3}\ \text{m}$$$$t_0=\frac{1000}{2.985\times10^{8}}=3.35\times10^{-6}\ \text{s}=3.35\ \mu\text{s}$$Ở đây chu kì bán rã là giá trị riêng $1.56\ \mu\text{s}$, nên số chu kì là $3.35/1.56=2.15$ — đúng bằng con số trên, và $N/N_0=0.225$.
Đó là điểm cốt lõi: hai hệ giải thích khác nhau (một bên giãn thời gian, một bên co độ dài) nhưng không được ra hai kết quả khác nhau. Dùng cả hai hiệu ứng cùng lúc trong một hệ là lỗi phổ biến nhất, và nó cho ra $\gamma^{2}$ tức sai $10$ lần.
Bốn cái bẫy của phần này.
- Coi động năng quay bảo toàn khi $I$ đổi. Chỉ $L=I\omega$ bảo toàn. $E_k=L^{2}/(2I)$ nên $I$ giảm thì $E_k$ tăng.
- Dùng $I=\tfrac{1}{12}mL^{2}$ cho thanh quay quanh đầu. Sai bốn lần — công thức đó là quanh tâm.
- Áp cả giãn thời gian lẫn co độ dài trong cùng một hệ. Mỗi hệ chỉ thấy một hiệu ứng. Dùng cả hai là nhân thừa một hệ số $\gamma$.
- Cộng vận tốc kiểu Galileo ở tốc độ cao. $0.6c+0.5c$ không ra $1.1c$; công thức tương đối tính cho $0.85c$.
Chốt: khi $I$ hoặc khối lượng thay đổi đột ngột thì dùng bảo toàn động lượng (thẳng hoặc quay), khi hình dạng chuyển động trơn thì dùng bảo toàn năng lượng. Chọn nhầm công cụ là hỏng ngay dòng đầu.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Theme A: Space, Time and Motion gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.