Mục lục bài họcĐang ở d02-b2
Gas laws, the kinetic model and (HL) thermodynamics
The ideal gas
$$pV=nRT=Nk_BT$$with $R=8.31\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}$ and $k_B=1.38\times10^{-23}\ \text{J K}^{-1}$. Every temperature in these equations is in kelvin. For a fixed mass, $\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}$.
Assumptions of the kinetic model
- molecules are points with negligible volume compared with the container;
- collisions are perfectly elastic and of negligible duration;
- there are no intermolecular forces except during collisions;
- motion is random and obeys Newtonian mechanics.
A real gas departs from ideal behaviour at high pressure (molecular volume matters) and low temperature (attractions matter).
Molecular speeds and internal energy
$$\tfrac{1}{2}m\overline{v^{2}}=\tfrac{3}{2}k_BT,\qquad v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}},\qquad U=\tfrac{3}{2}nRT$$The last result holds for a monatomic ideal gas, and it says the internal energy depends on temperature alone — not on pressure or volume.
(HL) The first law
$$Q=\Delta U+W$$where $W$ is the work done by the gas, equal to the area under the $p$–$V$ curve. Four standard processes: isothermal ($\Delta U=0$, so $Q=W$); isovolumetric ($W=0$, so $Q=\Delta U$); isobaric ($W=p\Delta V$); adiabatic ($Q=0$, so $\Delta U=-W$).
(HL) The second law and entropy
$$\Delta S=\frac{Q}{T}$$The entropy of an isolated system never decreases. A heat engine taking $Q_H$ from a hot reservoir at $T_H$ and rejecting $Q_C$ at $T_C$ has efficiency $\eta=1-\dfrac{Q_C}{Q_H}$, which can never exceed the Carnot value $1-\dfrac{T_C}{T_H}$.
Khí lí tưởng
$$pV=nRT=Nk_BT$$với $R=8.31\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}$ và $k_B=1.38\times10^{-23}\ \text{J K}^{-1}$. Mọi nhiệt độ trong các phương trình này đều tính bằng kelvin — dùng Celsius là sai ngay từ dòng đầu, và với bài "$27\ ^\circ\text{C}$ lên $127\ ^\circ\text{C}$" thì sai tới hơn ba lần. Với khối khí không đổi: $\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}$.
Các giả thiết của mô hình động học phân tử
- phân tử là chất điểm, thể tích riêng không đáng kể so với bình;
- va chạm hoàn toàn đàn hồi và thời gian va chạm không đáng kể;
- không có lực tương tác giữa các phân tử ngoài lúc va chạm;
- chuyển động hỗn loạn và tuân theo cơ học Newton.
Khí thực lệch khỏi lí tưởng khi áp suất cao (thể tích riêng bắt đầu đáng kể) và khi nhiệt độ thấp (lực hút bắt đầu đáng kể). Đây là câu hỏi giải thích xuất hiện đều đặn ở Paper 2.
Tốc độ phân tử và nội năng
$$\tfrac{1}{2}m\overline{v^{2}}=\tfrac{3}{2}k_BT,\qquad v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}},\qquad U=\tfrac{3}{2}nRT$$Trong công thức $v_{\text{rms}}$, $M$ là khối lượng mol tính bằng kg mol$^{-1}$. Thay $32$ thay vì $0.032$ cho oxy sẽ ra $15\ \text{m s}^{-1}$ — một con số vô lí mà kiểm nhanh bắt được ngay. Kết quả cuối nói rằng nội năng của khí lí tưởng đơn nguyên tử chỉ phụ thuộc nhiệt độ, không phụ thuộc áp suất hay thể tích.
(HL) Nguyên lí thứ nhất
$$Q=\Delta U+W$$với $W$ là công khí sinh ra, bằng diện tích dưới đường $p$–$V$. Bốn quá trình chuẩn: đẳng nhiệt ($\Delta U=0$ nên $Q=W$); đẳng tích ($W=0$ nên $Q=\Delta U$); đẳng áp ($W=p\Delta V$); đoạn nhiệt ($Q=0$ nên $\Delta U=-W$). Nhớ kĩ: đẳng tích nghĩa là không sinh công, không có nghĩa là không trao đổi nhiệt.
(HL) Nguyên lí thứ hai và entropy
$$\Delta S=\frac{Q}{T}$$Entropy của hệ cô lập không bao giờ giảm. Động cơ nhiệt nhận $Q_H$ ở $T_H$ và thải $Q_C$ ở $T_C$ có hiệu suất $\eta=1-\dfrac{Q_C}{Q_H}$, và hiệu suất này không bao giờ vượt giá trị Carnot $1-\dfrac{T_C}{T_H}$.
Một xilanh chứa $0.150\ \text{mol}$ khí lí tưởng đơn nguyên tử ở $27.0\ ^\circ\text{C}$, thể tích $1.20\times10^{-3}\ \text{m}^{3}$. Khí được nung ở áp suất không đổi cho tới khi thể tích tăng gấp đôi. Cho $R=8.31\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}$. Tính áp suất, nhiệt độ cuối, công khí sinh ra và nhiệt lượng đã cung cấp.
Áp suất từ phương trình trạng thái, với $T=300\ \text{K}$:
$$p=\frac{nRT}{V}=\frac{0.150(8.31)(300)}{1.20\times10^{-3}}=\frac{374}{1.20\times10^{-3}}=3.12\times10^{5}\ \text{Pa}$$Đẳng áp nên $V\propto T$: thể tích gấp đôi thì nhiệt độ tuyệt đối gấp đôi.
$$T_2=600\ \text{K}\;(=327\ ^\circ\text{C})$$Công khí sinh ra:
$$W=p\Delta V=3.12\times10^{5}(1.20\times10^{-3})=374\ \text{J}$$Nội năng của khí đơn nguyên tử:
$$\Delta U=\tfrac{3}{2}nR\Delta T=1.5(0.150)(8.31)(300)=561\ \text{J}$$$$Q=\Delta U+W=561+374=935\ \text{J}$$Kiểm: $W/\Delta U=374/561=0.667=\tfrac{2}{3}$ — đúng tỉ số cố định của mọi quá trình đẳng áp với khí đơn nguyên tử, vì $W=nR\Delta T$ còn $\Delta U=\tfrac{3}{2}nR\Delta T$. Tỉ số này là phép kiểm nhanh cho cả bài.
Với chu trình $A\to B\to C\to D\to A$ trong hình trên (khí lí tưởng đơn nguyên tử, $A$ và $D$ ở $1.0\times10^{5}\ \text{Pa}$, $B$ và $C$ ở $2.0\times10^{5}\ \text{Pa}$, $V_A=V_B=1.0\times10^{-3}\ \text{m}^{3}$, $V_C=V_D=3.0\times10^{-3}\ \text{m}^{3}$), hãy tính công có ích mỗi chu trình, tổng nhiệt lượng nhận vào và hiệu suất.
Công. Chỉ hai đoạn đẳng áp sinh công:
$$W_{BC}=2.0\times10^{5}(2.0\times10^{-3})=+400\ \text{J},\qquad W_{DA}=1.0\times10^{5}(-2.0\times10^{-3})=-200\ \text{J}$$$$W_{\text{net}}=200\ \text{J}$$đúng bằng diện tích hình chữ nhật, như hình đã tô.
Nhiệt. Với khí đơn nguyên tử $U=\tfrac{3}{2}pV$, nên $\Delta U=\tfrac{3}{2}\Delta(pV)$. Lấy đơn vị $pV$ là joule:
| Đoạn | $\Delta U$ / J | $W$ / J | $Q=\Delta U+W$ / J |
|---|---|---|---|
| $A\to B$ | $+150$ | $0$ | $+150$ |
| $B\to C$ | $+600$ | $+400$ | $+1000$ |
| $C\to D$ | $-450$ | $0$ | $-450$ |
| $D\to A$ | $-300$ | $-200$ | $-500$ |
Nhiệt nhận vào chỉ gồm các đoạn có $Q>0$: $150+1000=1150\ \text{J}$.
$$\eta=\frac{200}{1150}=0.174=17.4\%$$Kiểm: tổng $Q$ của bốn đoạn là $150+1000-450-500=200\ \text{J}$, đúng bằng $W_{\text{net}}$ — bắt buộc phải vậy vì sau một chu trình $\Delta U=0$. Nếu hai số này lệch nhau thì có lỗi dấu ở đâu đó.
Bốn cái bẫy.
- Dùng độ Celsius trong $pV=nRT$. Bài "$27\ ^\circ\text{C}$ lên $127\ ^\circ\text{C}$" cho tỉ số đúng là $400/300=1.33$, còn dùng Celsius ra $4.7$ — sai gần bốn lần.
- Đưa khối lượng mol bằng gam vào $v_{\text{rms}}$. Đơn vị phải là $\text{kg mol}^{-1}$; sai chỗ này làm tốc độ nhỏ đi khoảng $31.6$ lần.
- Coi đẳng tích là "không có gì xảy ra". $W=0$ nhưng $Q=\Delta U\ne0$; bỏ sót đoạn đẳng tích khi cộng nhiệt nhận vào là lỗi làm hiệu suất sai.
- Lẫn đoạn nhiệt với đẳng nhiệt. Đoạn nhiệt là $Q=0$ (nhiệt độ có đổi); đẳng nhiệt là $\Delta U=0$ (nhiệt lượng có trao đổi).
Chốt: với mọi chu trình, lập bảng bốn cột $\Delta U$, $W$, $Q$ cho từng đoạn rồi cộng. Tổng $\Delta U$ phải bằng $0$ và tổng $Q$ phải bằng tổng $W$ — hai phép kiểm này bắt được gần như mọi lỗi dấu.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Theme B: The Particulate Nature of Matter gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.