Mục lục bài họcĐang ở d03-b1
Simple harmonic motion and its energy
The defining condition
$$a=-\omega^{2}x$$A motion is simple harmonic if, and only if, the acceleration is proportional to the displacement from a fixed point and directed towards that point. Everything else follows from this one line — the sinusoidal solution, the period, the energy graphs.
Solutions and the two standard systems
$$x=A\sin\omega t\ \text{ or }\ x=A\cos\omega t,\qquad T=\frac{2\pi}{\omega}$$$$\text{mass–spring: }\ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}};\qquad \text{simple pendulum: }\ \omega=\sqrt{\frac{g}{L}}$$The pendulum period does not depend on the mass of the bob, and the mass–spring period does not depend on gravity — a spring oscillator keeps the same period on the Moon.
Velocity and acceleration
$$v_{\max}=\omega A,\qquad a_{\max}=\omega^{2}A,\qquad v=\pm\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}$$Speed is maximum at the equilibrium position where acceleration is zero; acceleration is maximum at the extremes where speed is zero. Displacement and acceleration are always exactly $\pi$ out of phase.
Energy
$$E_{\text{total}}=\tfrac{1}{2}kA^{2}=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}A^{2},\qquad E_p=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}x^{2},\qquad E_k=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}(A^{2}-x^{2})$$Both energies depend on the square of displacement, so at $x=A/2$ the potential energy is only a quarter of the total, not a half.
Damping and resonance
Light damping lets the amplitude decay slowly; critical damping returns the system to equilibrium in the shortest time without oscillating. A driven oscillator has maximum amplitude when the driving frequency is close to the natural frequency; increasing damping lowers and broadens the resonance peak and shifts it very slightly to lower frequency.
Điều kiện định nghĩa
$$a=-\omega^{2}x$$Một chuyển động là dao động điều hoà khi và chỉ khi gia tốc tỉ lệ với li độ so với một điểm cố định và luôn hướng về điểm ấy. Dấu trừ chính là chữ "về". Mọi thứ còn lại — nghiệm hình sin, chu kì, đồ thị năng lượng — đều suy ra từ một dòng này, nên câu hỏi "chứng minh vật dao động điều hoà" luôn có nghĩa là "hãy đưa phương trình về dạng $a=-\omega^{2}x$".
Nghiệm và hai hệ chuẩn
$$x=A\sin\omega t\ \text{ hoặc }\ x=A\cos\omega t,\qquad T=\frac{2\pi}{\omega}$$$$\text{con lắc lò xo: }\ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}};\qquad \text{con lắc đơn: }\ \omega=\sqrt{\frac{g}{L}}$$Chu kì con lắc đơn không phụ thuộc khối lượng quả nặng; chu kì con lắc lò xo không phụ thuộc $g$ — mang lên Mặt Trăng nó vẫn dao động đúng chu kì cũ. Hai câu này bị hỏi đi hỏi lại và bị trả lời sai đều đặn.
Vận tốc và gia tốc
$$v_{\max}=\omega A,\qquad a_{\max}=\omega^{2}A,\qquad v=\pm\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}$$Tốc độ cực đại ở vị trí cân bằng, đúng nơi gia tốc bằng không; gia tốc cực đại ở hai biên, đúng nơi tốc độ bằng không. Li độ và gia tốc luôn lệch pha đúng $\pi$, còn vận tốc lệch pha $\pi/2$ so với li độ.
Năng lượng
$$E_{\text{tổng}}=\tfrac{1}{2}kA^{2}=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}A^{2},\qquad E_p=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}x^{2},\qquad E_k=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}(A^{2}-x^{2})$$Cả hai dạng năng lượng phụ thuộc bình phương li độ. Vì vậy ở $x=A/2$ thế năng chỉ chiếm một phần tư tổng cơ năng chứ không phải một nửa, và hai đường năng lượng cắt nhau ở $x=\pm A/\sqrt{2}$.
Tắt dần và cộng hưởng
Tắt dần nhẹ (light damping) làm biên độ giảm chậm; tắt dần tới hạn (critical damping) đưa hệ về cân bằng nhanh nhất mà không dao động. Với dao động cưỡng bức, biên độ lớn nhất khi tần số ngoại lực gần tần số riêng; tăng tắt dần làm đỉnh cộng hưởng thấp xuống và bè ra, đồng thời dịch nhẹ về phía tần số thấp hơn.
Một chất điểm dao động điều hoà với biên độ $8.0\ \text{cm}$. Khi li độ là $4.0\ \text{cm}$, tốc độ của nó là $12\ \text{cm s}^{-1}$. Tìm tần số góc, chu kì và tốc độ cực đại.
Dùng quan hệ tốc độ – li độ:
$$v=\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}\;\Longrightarrow\;0.12=\omega\sqrt{0.080^{2}-0.040^{2}}$$$$\sqrt{0.0064-0.0016}=\sqrt{0.0048}=0.0693\ \text{m}$$$$\omega=\frac{0.12}{0.0693}=1.73\ \text{rad s}^{-1},\qquad T=\frac{2\pi}{1.73}=3.6\ \text{s}$$$$v_{\max}=\omega A=1.73(0.080)=0.139\ \text{m s}^{-1}=13.9\ \text{cm s}^{-1}$$Hai lỗi hay gặp nằm ngay ở dòng đầu. Lấy $\omega=v/A=1.5\ \text{rad s}^{-1}$ là coi $12\ \text{cm s}^{-1}$ như tốc độ cực đại, trong khi đề nói rõ nó đo ở $x=4.0\ \text{cm}$. Lấy $\omega=v/x=3.0\ \text{rad s}^{-1}$ là dùng nhầm li độ vào chỗ của biên độ.
Kiểm nhanh: $v_{\max}=13.9\ \text{cm s}^{-1}$ phải lớn hơn $12\ \text{cm s}^{-1}$, và tỉ số $12/13.9=0.866=\sqrt{3}/2$ đúng bằng $\sqrt{1-(x/A)^{2}}$ với $x/A=0.5$.
Vật $0.500\ \text{kg}$ gắn vào lò xo có $k=32.0\ \text{N m}^{-1}$, dao động với biên độ $0.120\ \text{m}$. Lập bảng tổng cơ năng, thế năng và động năng tại $x=0$, $x=0.072\ \text{m}$ và $x=0.120\ \text{m}$.
Tần số góc và tổng cơ năng:
$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{32.0}{0.500}}=8.00\ \text{rad s}^{-1},\qquad E=\tfrac{1}{2}kA^{2}=\tfrac{1}{2}(32.0)(0.0144)=0.230\ \text{J}$$Thế năng $E_p=\tfrac{1}{2}kx^{2}$, còn động năng lấy bằng phần bù:
| $x$ / m | $x/A$ | $E_p$ / J | $E_k$ / J |
|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ | $0.230$ |
| $0.072$ | $0.60$ | $0.083$ | $0.147$ |
| $0.120$ | $1.00$ | $0.230$ | $0$ |
Ở $x=0.6A$, thế năng chiếm $0.36$ và động năng chiếm $0.64$ tổng cơ năng — đúng bằng $(x/A)^{2}$ và $1-(x/A)^{2}$. Đây là cách kiểm nhanh nhất: tỉ lệ năng lượng luôn là bình phương tỉ lệ li độ, không bao giờ là tỉ lệ thẳng.
Kiểm chéo bằng tốc độ: $v=\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}=8.00\sqrt{0.0144-0.005184}=0.768\ \text{m s}^{-1}$, và $\tfrac{1}{2}(0.500)(0.768)^{2}=0.147\ \text{J}$ — khớp cột cuối.
Bốn chỗ trượt của mảng dao động.
- Coi tốc độ đề cho là tốc độ cực đại. Chỉ khi đề nói "at the equilibrium position" hoặc "maximum speed" thì mới được dùng $v=\omega A$.
- Chia năng lượng theo tỉ lệ thẳng của li độ. Ở $x=A/2$ thế năng là $\tfrac{1}{4}E$ chứ không phải $\tfrac{1}{2}E$.
- Cho chu kì con lắc đơn phụ thuộc khối lượng. $T=2\pi\sqrt{L/g}$ hoàn toàn không chứa $m$.
- Nói tăng tắt dần thì tần số cộng hưởng không đổi. Đỉnh vừa thấp xuống, vừa bè ra, vừa dịch nhẹ sang trái.
Chốt: gặp bài dao động thì viết ngay ba con số $\omega$, $A$, $E=\tfrac{1}{2}kA^{2}$. Gần như mọi câu hỏi sau đó chỉ là thay vào một trong ba công thức $v=\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}$, $a=-\omega^{2}x$, $E_p=\tfrac{1}{2}kx^{2}$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Theme C: Wave Behaviour gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.