Mục lục bài họcĐang ở d05-b3
Further calculus: implicit differentiation, differential equations and Maclaurin series
Implicit differentiation and related rates
Differentiate both sides with respect to $x$, treating $y$ as a function of $x$, so $\dfrac{d}{dx}\left(y^{2}\right)=2y\dfrac{dy}{dx}$ and $\dfrac{d}{dx}(xy)=y+x\dfrac{dy}{dx}$.
Related rates use the same idea with $t$ as the variable: $\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$.
Separable differential equations
$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\;\Longrightarrow\;\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx$$One arbitrary constant, applied once. Use the boundary condition immediately rather than carrying the constant through further algebra.
Maclaurin series
$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}+\cdots$$Three series worth knowing outright:
$$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots,\qquad \sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\cdots,\qquad \ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\cdots$$Composite series are usually faster obtained by substituting into a known series than by differentiating repeatedly.
Đạo hàm hàm ẩn. Lấy đạo hàm hai vế theo $x$, coi $y$ là hàm của $x$. Mọi hạng tử chứa $y$ đều sinh ra thừa số $\dfrac{dy}{dx}$: $\dfrac{d}{dx}\left(y^{2}\right)=2y\dfrac{dy}{dx}$, và $\dfrac{d}{dx}(xy)=y+x\dfrac{dy}{dx}$ theo quy tắc tích. Quên thừa số ấy là lỗi phổ biến nhất, và nó cho ra một con số trông hoàn toàn bình thường.
Tốc độ liên hệ dùng đúng ý ấy với biến là thời gian: $\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$. Mẹo trình bày: viết chuỗi dây chuyền ra trước khi thay số, rồi mới điền từng mảnh — làm ngược lại thì hay thiếu mắt xích.
Phương trình vi phân tách biến.
$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\;\Longrightarrow\;\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx$$Chỉ một hằng số tuỳ ý, cộng một lần. Dùng điều kiện đầu ngay thay vì kéo hằng số qua nhiều phép biến đổi — càng để lâu càng dễ sai.
Chuỗi Maclaurin.
$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}+\cdots$$Ba chuỗi đáng thuộc thẳng: $e^{x}=1+x+\dfrac{x^{2}}{2!}+\cdots$; $\sin x=x-\dfrac{x^{3}}{3!}+\cdots$; $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^{2}}{2}+\cdots$.
Với hàm hợp, thế vào chuỗi đã biết nhanh hơn hẳn so với đạo hàm nhiều lần. Muốn khai triển $e^{2x}$ thì thay $x$ bằng $2x$ trong chuỗi của $e^{x}$; muốn khai triển $\sin\left(x^{2}\right)$ thì thay tương tự. Đạo hàm ba lần một hàm hợp là con đường dài nhất tới cùng một đáp số.
Giải $\dfrac{dy}{dx}=xy$ với $y=2$ khi $x=0$, cho kết quả dưới dạng $y$ theo $x$.
Bước 1 — tách biến. Đưa mọi thứ chứa $y$ về một vế, mọi thứ chứa $x$ về vế kia:
$$\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$$Bước 2 — lấy tích phân hai vế, cộng hằng số một lần.
$$\ln|y|=\frac{x^{2}}{2}+c$$Bước 3 — mũ hoá. Chú ý hằng số nằm trong số mũ nên sau khi mũ hoá nó thành một thừa số, không phải số hạng cộng:
$$y=e^{x^{2}/2+c}=e^{c}\cdot e^{x^{2}/2}=Ae^{x^{2}/2}$$Bước 4 — dùng điều kiện đầu ngay. Tại $x=0$ thì $e^{0}=1$, nên
$$2=A\;\Longrightarrow\;y=2e^{x^{2}/2}$$Kiểm ngược: $\dfrac{dy}{dx}=2e^{x^{2}/2}\cdot x=xy$. Khớp với phương trình đề cho.
Hai lỗi hay gặp. Thứ nhất, viết $y=e^{x^{2}/2}+A$ — cộng hằng số sau khi mũ hoá; thử ngược lại thấy ngay nó không thoả phương trình. Thứ hai, quên hệ số $\dfrac{1}{2}$ ở số mũ, tức lấy nguyên hàm của $x$ thành $x$ thay vì $\dfrac{x^{2}}{2}$.
Tìm khai triển Maclaurin của $e^{2x}\cos x$ tới số hạng chứa $x^{2}$.
Bước 1 — lấy hai chuỗi thành phần, không đạo hàm gì cả. Thay $x$ bằng $2x$ trong chuỗi của $e^{x}$:
$$e^{2x}=1+2x+\frac{(2x)^{2}}{2!}+\cdots=1+2x+2x^{2}+\cdots$$$$\cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\cdots=1-\frac{x^{2}}{2}+\cdots$$Bước 2 — nhân hai chuỗi, chỉ giữ tới bậc hai. Mọi tích cho bậc từ ba trở lên đều bỏ được:
$$\left(1+2x+2x^{2}\right)\left(1-\frac{x^{2}}{2}\right)$$$$=1+2x+2x^{2}-\frac{x^{2}}{2}+\left(\text{bậc}\ge 3\right)$$$$=1+2x+\frac{3x^{2}}{2}+\cdots$$Vì sao không đạo hàm ba lần. Cách trực tiếp đòi tính $f$, $f'$, $f''$ của một tích rồi thay $x=0$ vào từng cái — ba lần quy tắc tích, mỗi lần một cơ hội sai dấu. Cách thế vào chuỗi chỉ có một phép nhân đa thức, và nó còn cho biết ngay số hạng nào bỏ được: mọi tích có tổng bậc vượt quá bậc cần giữ.
Chú ý ở bước thế: $\dfrac{(2x)^{2}}{2!}=\dfrac{4x^{2}}{2}=2x^{2}$ — phải bình phương cả $2x$, không chỉ bình phương $x$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Calculus gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.