Mục lục bài họcĐang ở d03-b1
Radians, arcs, sectors and non-right-angled triangles
Radian measure, arcs and sectors
One radian is the angle subtended at the centre by an arc equal in length to the radius, so $180^{\circ}=\pi$ radians. For a circle of radius $r$ and a central angle $\theta$ in radians:
$$\text{arc length }l=r\theta,\qquad \text{sector area }A=\frac12r^{2}\theta,\qquad \text{segment area}=\frac12r^{2}\left(\theta-\sin\theta\right)$$Triangles that are not right-angled
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\qquad\text{(sine rule)}$$$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\qquad\text{(cosine rule)}\qquad \text{Area}=\frac12ab\sin C$$Use the cosine rule when you know three sides, or two sides and the angle between them. Use the sine rule when you know an angle and the side opposite it, together with one more piece of information.
The ambiguous case
If the sine rule is used to find an angle, remember that $\sin\theta=\sin(180^{\circ}-\theta)$. Whenever the given data are two sides and a non-included angle, both the acute and the obtuse value must be tested; a value is admissible if the three angles still add to less than $180^{\circ}$.
Three dimensions
The angle between a line and a plane is the angle between the line and its projection onto the plane. Finding that projection is almost always the whole difficulty; once it is drawn, the calculation is a right-angled triangle.
Radian, và vì sao mọi công thức đều đòi radian. Một radian là góc ở tâm chắn một cung dài bằng bán kính, nên $180^{\circ}=\pi$ rad. Với bán kính $r$ và góc ở tâm $\theta$ tính bằng radian:
$$l=r\theta,\qquad A_{\text{quạt}}=\frac12r^{2}\theta,\qquad A_{\text{viên phân}}=\frac12r^{2}\left(\theta-\sin\theta\right)$$Công thức viên phân không cần học thuộc: nó chỉ là quạt trừ tam giác. Nhưng nó chứa một cái bẫy kép — $\theta$ ở số hạng đầu phải là radian, và $\sin\theta$ ở số hạng sau cũng phải tính ở chế độ radian.
Tam giác thường. Định lý sin $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$; định lý cosin $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$; diện tích $\dfrac12ab\sin C$ (hai cạnh và góc xen giữa chúng).
Chọn công thức nào: biết ba cạnh, hoặc hai cạnh và góc xen giữa, thì dùng cosin. Biết một góc cùng cạnh đối diện nó thì dùng sin. Nhớ nhầm chỗ này làm mất thời gian chứ không làm sai đáp số — nhưng Paper 2 luôn thiếu giờ.
Trường hợp mập mờ. Khi dùng định lý sin để tìm một góc, phải nhớ $\sin\theta=\sin\left(180^{\circ}-\theta\right)$. Máy tính chỉ trả về giá trị nhọn; giá trị tù là anh em sinh đôi của nó và thường cũng hợp lệ. Cách kiểm: cộng góc vừa tìm với góc đã biết — nếu tổng vẫn nhỏ hơn $180^{\circ}$ thì trường hợp đó tồn tại thật.
Ba chiều. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa đường thẳng ấy với hình chiếu của nó lên mặt phẳng. Việc khó nằm ở chỗ xác định hình chiếu; vẽ được nó rồi thì phần còn lại chỉ là một tam giác vuông. Với hình hộp chữ nhật, hình chiếu của đường chéo không gian lên đáy chính là đường chéo của đáy, chứ không phải một cạnh đáy.
Một hình quạt của đường tròn bán kính $10$ cm có chu vi $32$ cm. Tìm góc ở tâm $\theta$, diện tích hình quạt, và diện tích viên phân bị dây cung cắt ra.
Chu vi hình quạt gồm hai bán kính và một cung — không phải chỉ cung:
$$2r+r\theta=32\;\Longrightarrow\;20+10\theta=32\;\Longrightarrow\;\theta=1{,}2\ \text{rad}$$Diện tích quạt.
$$A=\frac12r^{2}\theta=\frac12(100)(1{,}2)=60\ \text{cm}^{2}$$Diện tích tam giác $OAB$. Hai cạnh đều bằng $r$, góc xen giữa là $\theta$:
$$A_{\triangle}=\frac12(10)(10)\sin 1{,}2=50\times 0{,}93204=46{,}602\ \text{cm}^{2}$$Viên phân.
$$60-46{,}602=13{,}4\ \text{cm}^{2}$$Kiểm tính hợp lý: $\theta=1{,}2$ rad khoảng $68{,}8^{\circ}$, tức chưa tới một phần năm đường tròn, và viên phân là phần nhỏ nhất trong ba mảnh — $13{,}4$ so với $60$ là tỉ lệ hợp lý. Nếu máy tính đang để chế độ độ thì $\sin(1{,}2)$ ra $0{,}0209$, tam giác chỉ còn $1{,}05$ và viên phân thành $59$ — lớn gần bằng cả hình quạt, điều không thể xảy ra.
Trong tam giác $ABC$ có $AB=8$, $BC=6$ và $\widehat{A}=40^{\circ}$. Tìm cả hai giá trị có thể của $\widehat{C}$, và độ dài $AC$ tương ứng với mỗi trường hợp.
Nhận diện: hai cạnh và một góc KHÔNG xen giữa — đây đúng là cấu hình sinh ra trường hợp mập mờ. Góc $A$ đối diện cạnh $BC=6$; cạnh $AB=8$ đối diện góc $C$.
$$\frac{\sin C}{8}=\frac{\sin 40^{\circ}}{6}\;\Longrightarrow\;\sin C=\frac{8\sin 40^{\circ}}{6}=0{,}85705$$Hai giá trị. Máy tính cho $C=58{,}99^{\circ}$; giá trị còn lại là $180^{\circ}-58{,}99^{\circ}=121{,}01^{\circ}$.
Thử tính hợp lệ. Trường hợp một: $40+58{,}99=98{,}99<180$, hợp lệ, và $\widehat{B}=81{,}01^{\circ}$. Trường hợp hai: $40+121{,}01=161{,}01<180$, cũng hợp lệ, và $\widehat{B}=18{,}99^{\circ}$. Cả hai tam giác đều tồn tại.
Tìm $AC$ cho từng trường hợp. $AC$ đối diện góc $B$:
$$AC=\frac{6\sin B}{\sin 40^{\circ}}$$$$AC_1=\frac{6\sin 81{,}01^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}=9{,}22,\qquad AC_2=\frac{6\sin 18{,}99^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}=3{,}04$$Hai tam giác rất khác nhau, và đề chỉ cần thêm một câu như “$AC>5$” là loại được một trường hợp. Nếu đề không có câu đó thì việc bỏ sót trường hợp thứ hai là mất nửa số điểm.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Geometry and Trigonometry gồm 14 câu trắc nghiệm và 6 đề tự luận, ra khó hơn đề thật 30–50%. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.